7 / 21
соотношений:
T
IJ
=
< σ
IJ
>
=
< σ
(0)
IJ
>
+
κ < σ
(1)
IJ
>
+
. . .
;
M
IJ
=
κ < ξσ
IJ
>
=
κ < ξσ
(0)
IJ
>
+
κ
2
< ξσ
(1)
IJ
>
+
. . .
;
Q
I
=
κ < σ
I
3
>
=
κ < σ
(1)
I
3
>
+
κ
2
< σ
(2)
I
3
>
+
. . .
(16)
Подставляя выражения (6), (7) для деформаций и напряжений
σ
(0)
IJ
,
σ
(1)
IJ
, а также определяющие соотношения системы (2) в интегралы
формул (16) и удерживая в них только первые два приближения, на-
ходим осредненные определяющие соотношения теории пластин:
T
IJ
= ˉ
C
IJKL
ε
(0)
KL
+
B
IJKL
η
KL
+
K
IJKLM
ε
(0)
KL,M
;
M
IJ
=
B
IJKL
ε
(0)
KL
+
D
IJKL
η
KL
+ ˉ
K
IJKLM
ε
(0)
KL,M
;
Q
I
=
K
IJKL
ε
(0)
KL,J
+
κ
2
< σ
(2)
I
3
> .
(17)
Здесь
ˉ
C
IJKL
=
< C
(0)
IJKL
>
=
< C
IJKL
>
−
< C
IJk
3
C
−
1
k
3
i
3
C
i
3
KL
>
,
C
(0)
IJKL
=
C
IJKL
−
C
IJk
3
C
−
1
k
3
i
3
C
i
3
KL
— тензоры осредненных упругих
констант пластины;
B
IJKL
=
κ < ξC
(0)
IJKL
>
,
K
IJKLM
=
κ <
˜
N
(0)
IJKLM
>
;
K
IJKL
=
κ <
ξ
Z
−
0
,
5
(
< C
(0)
IJKL
>
−
C
(0)
IJKL
)
dξ >
;
ˉ
D
IJKL
=
κ
2
< ξ
2
C
(0)
IJKL
>
;
ˉ
K
IJKLM
=
κ
2
< ξ
˜
N
(0)
IJKLM
>
; ˜
N
(0)
IJKLM
=
N
(0)
IJKLM
+
Φ
IJKLM
;
N
(0)
IJKLM
=
−
C
IJk
3
C
−
1
k
3
P
3
ξ
Z
−
0
,
5
(
< C
(0)
PMKL
>
−
C
(0)
PMKL
)
dξ
=
=
Z
P IJ
ξ
Z
−
0
,
5
(
< C
(0)
PMKL
>
−
C
(0)
PMKL
)
dξ
;
Φ
KLMNS
(
ξ
) = ˜
Φ
KLMNS
(
ξ
)
−
−
<
˜
Φ
KLMNS
(
ξ
)
>
=
1
2
(
U
KMN
δ
LS
+
U
LMN
δ
KS
); ˜
Φ
KLMNS
(
ξ
) =
=
−
ξ
Z
−
0
,
5
(
C
−
1
K
3
i
3
δ
SL
+
C
−
1
L
3
i
3
δ
SK
)
C
i
3
MN
dξ.
В систему осредненных определяющих соотношений (17) входят
деформации нулевого приближения
ε
(0)
KL
(10), кривизны
η
KL
и гради-
енты деформаций
ε
(0)
KL,N
:
η
KL
=
−
u
(0)
3
,KL
, ε
(0)
IJ,K
=
1
2
(
u
(0)
I,JK
+
u
(0)
J,IK
)
,
(18)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
73