4 / 21
Примем основные допущения:
1) давление
˜
p
±
на внешней и внутренней поверхностях пластины
имеет порядок малости
O
(
κ
3
)
:
˜
p
±
=
κ
3
p
±
, p
±
=
O
(1)
E
0
,
(3)
где
E
0
— характерное значение модуля упругости материала пластины
(размерная величина);
O
(1)
— безразмерная величина порядка 1;
2) сдвиговые напряжения
σ
3
j
n
j
= ˜
S
e
3
на части торцевой поверхно-
сти пластины
Σ
σ
T
имеют порядок малости
O
(
κ
)
, а остальные — порядок
O
(1)
:
Σ
σ
T
: ˜
S
e
3
=
κS
e
3
,
˜
S
eI
=
S
eI
.
(4)
Как правило, допущения (3) и (4) соответствуют реальным условиям
нагружения тонких пластин.
Асимптотические разложения.
Задача (2) содержит локальную
координату
ξ
, а также малый параметр
κ
в граничных условиях (это
коэффициент при давлении). В связи с этим ее решение ищем в виде
асимптотических разложений по параметру
κ
в виде функций, завися-
щих от глобальных и локальной координат [10, 11]:
u
k
=
u
(0)
k
(
x
I
) +
κu
(1)
k
(
x
I
, ξ
) +
κ
2
u
(2)
k
(
x
I
, ξ
) +
κ
3
u
(3)
k
(
x
I
, ξ
) +
. . .
;
(5)
ε
ij
=
ε
(0)
ij
+
κε
(1)
ij
+
κ
2
ε
(2)
ij
+
. . .
;
(6)
σ
ij
=
σ
(0)
ij
+
κσ
(1)
ij
+
κ
2
σ
(2)
ij
+
. . .
(7)
Здесь и далее индексы, обозначенные прописными буквами
I, J, K, L
,
принимают значения 1, 2, а индексы, обозначенные строчными буква-
ми
i, j, k, l
, — значения 1, 2, 3.
Будем использовать обозначения для производных по локальной
координате
u
(1)
i/
3
=
∂u
(1)
i
/∂ξ
и по глобальным координатам
u
(1)
i,j
=
=
∂u
(1)
i
/∂x
j
, также введем операцию осреднения по толщине пла-
стины
< u
(1)
i
>
=
0
,
5
Z
−
0
,
5
u
(3)
i
dξ.
(8)
Перемещения в пластине.
Подставляя асимптотические разложе-
ния (5)–(7) в систему уравнений (2) и собирая в ней члены при оди-
наковых степенях от параметра
κ
, получаем рекуррентную последова-
тельность специальных локальных задач теории упругости нулевого,
первого, второго и третьего и т.д. приближений для нахождения всех
членов асимптотических разложений (5)–(7). Подробности этого ме-
тода изложены в работах [10, 11]. Для перемещений все члены разло-
жения выше нулевого приближения, т.е.
u
(1)
k
, u
(2)
k
, u
(3)
k
. . .
— линейные
70
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4