5 / 21
функции нулевого приближения
u
(0)
k
и его производных
u
(0)
k/I
,
u
(0)
k/IK
и т.д. После подстановки выражений для функций
u
(1)
k
, u
(2)
k
, u
(3)
k
. . .
в
асимптотическое разложение (5), после выбора только главных членов
ряда (более высокие асимптотики отбрасываем) получаем, что пере-
мещения в пластине с точностью до членов второго порядка малости
имеют вид
u
I
=
u
(0)
I
−
κξu
(0)
3
,I
+ 2
κε
(0)
KL
U
IKL
(
ξ
);
u
3
=
u
(0)
3
+
κε
(0)
KL
U
3
KL
(
ξ
)
,
(9)
где обозначены деформации срединной поверхности пластины в ну-
левом приближении
ε
(0)
KL
=
1
2
(
u
(0)
K,L
+
u
(0)
L,K
)
,
(10)
а также функции, относящиеся к известным величинам
U
iKL
(
ξ
) =
<
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
i
3
j
3
C
j
3
KL
dξ >
−
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
i
3
j
3
C
j
3
KL
dξ.
(11)
Осредняя выражения (9) по толщине с учетом (8) и (11), опреде-
ляем
< u
I
>
=
u
(0)
I
,
< u
3
>
=
u
(0)
3
, т.е. перемещения нулевого прибли-
жения
u
(0)
k
являются средними по толщине перемещениями пласти-
ны и могут не совпадать с перемещениями срединной поверхности
пластины
u
k
ξ
=0
, относительно которых, как правило, в теории пла-
стин и формулируются кинематические допущения в приближенных
теориях пластин. Для однослойных пластин перемещения
u
k
ξ
=0
и
< u
I
>
=
u
(0)
I
совпадают.
В инженерной практике чаще всего применяют ортотропные или
моноклинные материалы [22], содержащие не более чем 13 не-
зависимых упругих модулей
C
ijkl
. Тканевые композиты, слоисто-
волокнистые композиты с различными углами ориентации волокон —
все они принадлежат к моноклинному классу анизотропии. В ин-
женерной практике немоноклинные материалы встречаются крайне
редко, это в основном кристаллические материалы, применяемые в
электротехнике.
Для моноклинных материалов матрица модулей упругости имеет
следующий вид [22]:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
71