3 / 21
к характерному размеру всей пластины
L
(ее максимальной длине).
Введем глобальные (
x
k
) и локальную (
ξ
) координаты
x
k
= ˜
x
k
/L
;
ξ
=
x
3
/κ, k
= 1
,
2
,
3
,
(1)
где
˜
x
k
— обычные декартовы координаты, ориентированные так, что
ось
O
˜
x
3
направлена по нормали к внешней и внутренней плоско-
стям пластины, а оси
O
˜
x
1
и
O
˜
x
2
принадлежат срединной поверхно-
сти пластины. Предположим, что существует два масштаба изменения
перемещений
u
k
пластины: один по направлениям осей
O
˜
x
1
и
O
˜
x
2
, а
второй по направлению оси
O
˜
x
3
. Координаты
x
3
и
ξ
в методе асимпто-
тического осреднения рассматриваются как независимые переменные.
Координата
ξ
по толщине пластины изменяется в диапазоне значений
−
0
,
5
< ξ
3
<
0
,
5
.
Рассмотрим для пластины трехмерную задачу линейной теории
упругости [20]
∇
j
σ
ij
= 0;
ε
ij
=
1
2
(
∇
j
u
i
+
∇
i
u
j
) ;
σ
ij
=
C
ijkl
ε
kl
;
Σ
3
±
:
σ
i
3
=
−
˜
p
±
δ
i
3
,
Σ
T
:
u
i
=
u
ei
,
Σ
σ
T
:
σ
ij
n
j
= ˜
S
ei
;
Σ
S
: [
σ
i
3
] = 0
,
[
u
3
] = 0
,
(2)
состоящую из уравнений равновесия, соотношений Коши, обобщенно-
го закона Гука, граничных условий на внешних поверхностях пласти-
ны оболочки — на внешней и внутренней поверхности
Σ
3
±
(их уравне-
ние имеет вид
˜
x
3
=
±
h/
2
) и на торцевой поверхности
Σ
u
T
∪
Σ
σ
T
= Σ
T
, а
также граничных условий на поверхности контакта
Σ
S
слоев пласти-
ны (
[
u
i
]
— скачок функций), которые могут и отсутствовать, например,
для однослойной пластины.
В уравнениях (2) использованы следующие обозначения:
σ
ij
— ком-
поненты тензора напряжений;
ε
ij
— компоненты тензора деформаций;
u
j
— компоненты вектора перемещений;
∇
j
=
∂/∂
˜
x
j
— оператор диф-
ференцирования по декартовым координатам;
C
ijkl
(
ξ
)
— компоненты
тензора модулей упругости, который полагается зависящим от коор-
динаты
ξ
3
=
ξ
, так как тензор различен для разных слоев пластины;
˜
S
ei
— заданный вектор напряжений на торцевой поверхности пласти-
ны. Никакого специального допущения об анизотропии материалов
слоев пока не делаем, т.е. тензоры модулей упругости имеют по 21
независимой компоненте [21].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4
69