4 / 12
Дальнейшее изучение движения жидкой пленки удобно провести
в безразмерных переменных. При этом более определенно выясняется
роль отдельных слагаемых в соотношениях (1), (4). В качестве харак-
терных величин выберем следующие:
L
=
p
σ/
(
ρ
l
g
)
— характерная
длина (так называемая капиллярная длина);
ρ
l
,
g
— плотность жид-
кости и ускорение свободного падения;
t
0
= 3
μL/σ
— характерное
время. Учтем также, что при малых углах наклона справедливо при-
ближенное равенство (3). Тогда уравнение (1) и граничные условия (4)
переписываются в виде
∂w
∂t
+
∂
∂x
(
w
3
+
Sw
∂
∂x
"
∂
2
w
∂x
2
−
w
+
R
w
3
∂w
∂x
4
−
α
4
e
!#)
= 0;
(5)
w
= 0
, w
3
+
Sw
∂
∂x
"
∂
2
w
∂x
2
−
w
+
+
R
w
3
∂w
∂x
4
−
α
4
e
!#
= 0
при
x
=
x
f
(
t
)
.
(6)
Здесь для безразмерной координаты и безразмерного времени сохра-
нены те же обозначения, что и для размерных координаты и времени;
w
=
h/L
— безразмерная толщина жидкой пленки. Безразмерный кри-
терий
R
=
π
48
A
LL
σL
2
определяет относительную роль расклинивающего
давления и поверхностного натяжения.
Оценим характерные величины
t
0
,
L
и безразмерный критерий
R
для одного частного случая. Примем
n
L
= 3
,
34
∙
10
28
м
−
3
,
T
= 300
K,
A
LL
=
48
π
∙
10
−
20
Дж,
σ
= 0
,
062
Н
∙
м
−
1
,
μ
= 1
,
48
Па
∙
с,
ρ
l
= 1
,
26
×
×
10
3
кг
∙
м
3
, что примерно соответствует глицерину при температуре
T
= 300
K. Тогда получим
L
= 2
,
3
∙
10
−
3
м,
t
0
= 0
,
2
с,
R
= 3
∙
10
−
14
.
Для безразмерного критерия справедливо сильное неравенство
R
1
,
поэтому роль соответствующих слагаемых в соотношениях (5) и (6)
существенна только при
w
→
0
, т.е. при достаточно малых толщи-
нах жидкой пленки, в том числе вблизи линии трехфазного контакта
x
→
x
f
(
t
)
.
Более наглядно оценить значения толщины жидкой пленки, при
которой необходим учет расклинивающего давления, непосредствен-
но в размерных переменных. Относительная роль поверхностного
натяжения и расклинивающего давления определяется равенством
σ/ρ
0
=
A
LL
/h
3
0
, где
ρ
0
>
0
— характерное значение кривизны по-
верхности пленки;
h
0
— критическая толщина пленки. При толщине
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5
91