6 / 12
w
→
0
,
η
→
+0
. Для выяснения относительной роли слагаемых в
уравнении (7) в указанной области перейдем к новым переменным
w
,
η
→
ξ
=
α
e
w
√
R
,
δ
=
η
√
R
. Тогда уравнение (7) в пренебрежение
величинами
O
(
R
)
преобразуется к виду
∂
3
ξ
∂δ
3
+
∂
∂δ
(
ξ
−
3
"
∂ξ
∂δ
4
−
1
#)
+
˙
x
∗
f
ξ
2
= 0
,
(8)
где
˙
x
∗
f
=
α
−
3
e
˙
x
f
. Следовательно, в рассматриваемой модели форма
поверхности жидкой пленки вблизи линии трехфазного контакта опи-
сывается обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением
(8), содержащим единственный параметр
˙
x
∗
f
.
Уравнение (8) должно быть дополнено граничными условиями,
одно из которых очевидно:
ξ
= 0
, δ
= 0
,
(9)
а второе — условие равновесия Юнга
∂ξ
∂δ
= 1
, δ
= 0
.
(10)
Порядок уравнения (8) можно понизить введением новой зависи-
мой переменной
p
=
dξ
dδ
2
−
1
и рассматривая толщину жидкой
пленки
ξ
в качестве независимой переменной. В новых переменных
уравнение (8) примет вид
1
2
∂
2
p
∂ξ
2
+
∂
∂ξ
p
(
p
+ 2)
ξ
3
+ ˙
x
∗
f
h
ξ
2
p
1 +
p
i
−
1
= 0
.
(11)
Из условий (9) и (10) следует граничное условие для уравнения (11)
p
= 0
, ξ
= 0
.
(12)
Достаточно полное исследование задачи (11), (12) можно провести
только численно. Характер особой точки
p
=
ξ
= 0
уравнения (12)
может быть исследован методом изоклин или аналитически методом
соприкасающихся парабол. Укажем лишь, что особая точка уравнения
(11)
ξ
= 0
является фокусом и существует единственная интегральная
кривая, входящая в эту точку, причем всегда
p
= 0
при
ξ
= 0
, это гаран-
тирует выполнение условие равновесия Юнга на линии трехфазного
контакта.
Для натекания жидкости на твердую поверхность
˙
x
f
>
0
расче-
ты показали [4, 27], что
ξ
(
δ
)
— монотонно возрастающая функция,
причем, если независимая переменная
δ
→ ∞
, то и зависимая пере-
менная
ξ
→ ∞
. Вблизи линии трехфазного контакта при растекании
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5
93