7 / 12
существует тонкий переходный слой, кривизна свободной поверхно-
сти жидкости в котором достигает значительного значения. Максимум
кривизны приходится на
ξ
≈
1
. Соответственно, угол наклона поверх-
ности пленки в пределах этого узкого переходного слоя испытывает
резкий скачок, значение которого зависит от скорости растекания
˙
x
f
.
Для больших значений переменной
ξ
зависимость
p
(
ξ
)
близка к лога-
рифмической.
Если скорость растекания
˙
x
∗
f
→
+0
, то на всем протяжении рас-
сматриваемой области толщин жидкости
w
∼ √
R
, угол наклона ее
свободной поверхности не отличается от равновесного угла смачива-
ния
α
e
, т.е. решение для движущейся линии трехфазного контакта, при
ее остановке
˙
x
f
→
0
, переходит в решение для неподвижной линии
трехфазного контакта
p
≈
0
.
Вследствие наличия узкого переходного слоя вблизи линии трех-
фазного контакта при растекании жидкости
˙
x
f
>
0
угол наклона сво-
бодной поверхности при наблюдении может восприниматься как ди-
намический, т.е. зависящий от скорости растекания краевой угол. Этот
угол можно также назвать макроскопическим углом смачивания
α
d
в
отличие от реального микроскопического угла смачивания, который
в рамках развиваемой теории всегда равен равновесному углу смачи-
вания
α
e
. Для динамического угла смачивания в работе [4] получены
оценки
α
d
(
α
2
d
−
α
2
e
) =
θ
˙
x
, где
θ
=
const
>
0
— неопределенная без-
размерная величина, имеющая порядок несколько единиц. Из послед-
него соотношения следует, что, если выполнено сильное неравенство
α
2
d
α
2
e
, то
α
3
d
≈
θ
˙
x
f
. Это соотношение совпадает с законом Тан-
нера [4], хорошо подтвержденным экспериментально. Если наоборот
α
2
d
→
α
2
e
, то
α
2
d
=
α
2
e
+ ˙
x
f
θ
2
α
e
, что подтверждается и численным экс-
периментом [28], и общими физическими соображениями.
Основные результаты.
Остановимся более подробно на случае
стекания жидкости со смоченной твердой поверхности
˙
x
f
<
0
. Полу-
ченные выше оценки, справедливые для натекания жидкости на твер-
дую поверхность
˙
x
f
>
0
, здесь не имеют места. Поэтому удобнее
вернуться к уравнению (8). Зададим функцию, описывающую форму
свободной поверхности вблизи линии трехфазного контакта, в виде
ряда
ξ
≈
N
X
i
=1
a
i
δ
i
. После подстановки в уравнение (8), с учетом гра-
ничных условий (10), для нескольких первых коэффициентов ряда
94
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5