5 / 12
пленки
h
3
< h
3
0
расклинивающее давление должно учитываться на-
ряду с поверхностным натяжением. Поскольку
σ
=
A
LL
/r
2
0
[3],
r
0
—
радиус молекулы жидкости по Ван-дер-Ваальсу, критическую толщи-
ну пленки можно оценить в виде
h
3
0
=
r
2
0
ρ
0
. Таким образом, находим
оценку области толщин жидкой пленки, где учет расклинивающего
давления целесообразен и возможен в рамках механики сплошной
среды:
r
2
0
ρ
0
> h
3
r
3
0
. Если принять
r
0
= 10
−
10
м,
ρ
0
= 10
−
4
м, то
критическая толщина пленки
h
0
= 10
−
8
м
ρ
0
.
В соответствии с экспериментальными данными [2, 3] молеку-
лярная составляющая расклинивающего давления в некоторых слу-
чаях проявляется уже на толщинах около
10
−
7
м. Поэтому молеку-
лярная составляющая расклинивающего давления носит диффузный
характер.
Пусть
˙
x
f
(
t
)
≡
dx
f
dt
6
= 0
, где
x
f
(
t
)
— функция, определяющая по-
ложение трехфазной границы, при этом
˙
x
f
>
0
соответствует натека-
нию жидкости на сухую твердую поверхность, а
˙
x
f
<
0
— стеканию
жидкости (см. рис. 1). Найдем форму уравнения (5), асимптотически
справедливую при
x
→
x
f
(
t
)
. Воспользуемся методом, приведенным
в работе [26]. Дифференцируя первое граничное условие по времени
t
, получаем
∂w
∂t
+ ˙
x
f
∂w
∂x
= 0
,
x
=
x
f
(
t
)
. Предположим, что это со-
отношение, строго выполняющееся на линии трехфазного контакта,
выполняется и в некоторой окрестности трехфазной границы жидко-
сти
w
→
0
,
x
→
x
f
(
t
)
. Заменим в нем производную по времени
w
0
t
из
уравнения (5) и проинтегрируем затем с учетом второго условия (6).
В результате запишем обыкновенное дифференциальное уравнение,
описывающее форму свободной поверхности жидкости в зависимо-
сти от скорости перемещения границы
∂
3
w
∂η
3
−
∂w
∂η
+
R
∂
∂η
(
η
−
3
"
∂w
∂η
4
−
α
4
e
#)
+
˙
x
f
w
2
= 0
.
(7)
Здесь
η
=
x
f
(
t
)
−
x
— координата, отсчитываемая от границы внутрь
жидкости (см. рис. 1). Следует отметить, что в случае бегущей волны,
когда
˙
x
f
=
const и
w
(
x, t
) =
w
(
η
)
, уравнение (7) является точным
следствием соотношений (5), (6).
Учет расклинивающего давления в уравнении (7) принципиально
важен и полностью решает проблему с выполнением условия Юнга на
движущейся линии трехфазного контакта [4]. Достаточно полно урав-
нение (7) может быть проанализировано только численно. Наиболь-
ший интерес представляет область вблизи линии трехфазного контак-
та, в которой роль расклинивающего давления существенна, т.е. при
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5