Previous Page  11 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 11 / 17 Next Page
Page Background

Учитывая, что асимптотически

X

2

(

t

) =

h

( ˜

X

2

(

t

))

, получаем асим-

птотическую ковариацию процесса

X

2

(

t

)

в виде

K

2

(

s, t

) =

EX

2

(

s

)

X

2

(

t

)

EX

2

(

s

)

EX

2

(

t

)

−→

n

2

(1

t

)(1

s

)

 

k

2

1

(1

s

)

m

2

k

m

2

2

(1

s

)

m

2

k

 

.

Рассмотрим случайный процесс

Z

n

(

t

)=

n

1

_

P

θ

1

(

t

)

_

P

θ

2

(

t

)

k

,

0

t <

1

, определяющий статистику (2). Обозначим через

K

n

(

s, t

)

функцию ковариации

Z

n

(

t

)

. Очевидно, что справедливо представление

Z

n

(

t

) =

n

1

_

P

θ

1

(

t

)

(1

t

)

_

P

θ

2

(

t

)

k

(1

t

) =

=

X

1

(

t

)

− √

ρX

2

(

t

)

,

0

t <

1

.

Из этого представления следует теорема.

Теорема 7.

Пусть

0

s

t

Δ

<

1

,

тогда

K

n

(

s, t

)

−→

n

1

→ ∞

n

2

→ ∞

K

(

s, t

) =

K

1

(

s, t

) +

ρK

2

(

s, t

) =

= (1

t

)(1

s

)

 

1

(1

s

)

m

1

m

2

1

(1

s

)

m

1

+

ρk

2

1

(1

s

)

m

2

k

m

2

2

(1

s

)

m

2

k

 

=

= (1

t

)

 

1

(1

s

)

m

1

m

2

1

(1

s

)

m

1

1

+

ρk

2

1

(1

s

)

m

2

k

m

2

2

(1

s

)

m

2

k

1

 

.

Обозначим

Y

n

(

t

) =

m

1

m

2

p

k

2

ρm

2

1

+

m

2

2

Z

n

(

t

)

. При стандартных ограниче-

ниях

0

s

t

Δ

<

1

процесс

Y

n

(

t

)

сходится к гауссовому процессу

Y

(

t

)

[4]. При этом

E

[

Y

(

t

)] = 0

, E

[

Y

(

s

)

Y

(

t

)] =

=

m

2

1

m

2

2

k

2

ρm

2

1

+

m

2

2

(1

t

)

 

1

(1

s

)

m

1

m

2

1

(1

s

)

m

1

1

+

ρk

2

1

(1

s

)

m

2

k

m

2

2

(1

s

)

m

2

k

1

 

=

= (1

t

)

k

2

(1

s

)

m

2

k

m

1

+

k

1

(1

s

)

m

2

k

(1

s

)

m

2

k

1

,

0

s

t

Δ

<

1

.

Для определения приближенного асимптотического распределения

статистики (2) предварительно докажем две леммы.

78

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6