13 / 17
P
sup
t
(1
−
_
F
2
(
t
))
k
m
2
−
(1
−
t
)
−→
n
1
∞
0 = 1
,
J
Утверждение леммы очевидно в силу теоремы Гливенко и рав-
номерной непрерывности на отрезке [0,1] степенных функций с поло-
жительным показателем степени.
I
Асимптотическое распределение (2) приближенно может быть по-
лучено следующим образом. В функции
λ
(
ψ
(
τ
)) =
λ
(
t
)
, определенной
в лемме 1, множители
(1
−
t
)
должны быть заменены сходящимися к
ним множителями
(1
−
_
F
1
(
t
))
1
m
1
или
(1
−
_
F
2
(
t
))
k
m
2
. Тогда прибли-
женно можно принять, что распределение статистики (2) совпадает с
распределением максимума модуля броуновского моста, которое явля-
ется классической функцией распределения Колмогорова [12]. Рассчи-
танные значения точных вероятностей, приведенные в таблице, пока-
зывают обоснованность этого утверждения. При больших объемах вы-
борок разность значений точных и асимптотических [12] вероятностей
составляет менее 0,004.
Оценка параметра модели Кокса.
Полученный результат позво-
ляет проверять гипотезы о возможных значениях параметра модели
Кокса. Однако во многих случаях более важна оценка данного пара-
метра. Обычно она осуществляется методом максимизации функции
частного правдоподобия [10]. В настоящей работе предложена другая
оценка, получаемая с помощью минимизации статистики типа Колмо-
горова – Смирнова
_
k
= arg min
T
( ˜
k
)
.
Пусть значение параметра Кокса
k
в степенной гипотезе (1) неиз-
вестно. В качестве оценки предложено значение
_
k
, которое миними-
зирует значение статистики Колмогорова – Смирнова
T
( ˜
k
) =
m
1
m
2
√
ρn
2
q
˜
k
2
ρm
2
1
+
m
2
2
×
×
max
t
k
2
1
−
_
F
1
1
m
1
+
k
1
1
−
_
F
2
˜
k
m
2
m
2
˜
k
−
1
k
2
k
2
1
−
_
F
1
1
m
1
+
k
1
1
−
_
F
2
˜
k
m
2
m
2
˜
k
−
m
1
+
k
1
×
×
_
P
θ
1
(
t
)
−
_
P
θ
2
(
t
)
˜
k
,
т.е.
_
k
= arg min
T
( ˜
k
)
, где
˜
k
— некоторое предполагаемое гипотетиче-
ское значение параметра модели Кокса. Исследование точности пред-
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6