Лемма 1.
Пусть
Y
(
t
)
— процесс, определенный выше. Существу-
ет монотонно возрастающее преобразование
t
=
ψ
(
τ
)
отрезка
[0
,
1]
на себя
[0
,
1]
→
[0
,
1]
,
при котором процесс
W
(
τ
) =
Y
(
ψ
(
τ
))
×
×
(1
−
ψ
(
τ
))
m
2
k
−
1
k
2
(1
−
ψ
(
τ
))
m
2
k
−
m
1
+
k
1
является броуновским мостом
.
J
Рассмотрим преобразование
τ
(
t
) =
k
2
(1
−
t
)
m
2
k
−
m
1
+
k
1
−
(1
−
t
)
m
2
k
k
2
(1
−
t
)
m
2
k
−
m
1
+
k
1
: [0
,
1)
→
[0
,
1)
.
При необходимости доопределим
τ
(1) = 1
. Нетрудно показать, что
τ
0
(
t
)
≥
0
,
τ
(0) = 0
,
τ
(1) = 1
. Тогда существует обратное преобразо-
вание
t
=
ψ
(
τ
)
. Введем процесс
W
(
τ
) =
Y
(
ψ
(
τ
))
(1
−
ψ
(
τ
))
m
2
k
−
1
k
2
(1
−
ψ
(
τ
))
m
2
k
−
m
1
+
k
1
=
Y
(
ψ
(
τ
))
λ
(
ψ
(
τ
))
.
При
0
≤
u
≤
v <
1
,
ψ
(
u
) =
s
,
ψ
(
v
) =
t
имеем
E
[
W
(
τ
)] = 0
, E
[
W
(
u
)
W
(
v
)] =
=
λ
(
ψ
(
u
))
λ
(
ψ
(
v
))
E
[
Y
(
ψ
(
u
))
Y
(
ψ
(
v
))] =
=
λ
(
s
)
λ
(
t
)
E
[
Y
(
s
)
Y
(
t
)] =
(1
−
s
)
m
2
k
−
1
k
2
(1
−
s
)
m
2
k
−
m
1
+
k
1
(1
−
t
)
m
2
k
−
1
k
2
(1
−
t
)
m
2
k
−
m
1
+
k
1
×
×
(1
−
t
)
k
2
(1
−
s
)
m
2
k
−
m
1
+
k
1
−
(1
−
s
)
m
2
k
(1
−
s
)
m
2
k
−
1
=
=
(1
−
t
)
m
2
k
k
2
(1
−
t
)
m
2
k
−
m
1
+
k
1
k
2
(1
−
s
)
m
2
k
−
m
1
+
k
1
−
(1
−
s
)
m
2
k
k
2
(1
−
s
)
m
2
k
−
m
1
+
k
1
=
u
(1
−
ν
)
.
I
Рассмотрим выборки
(
θ
1
1
, . . . , θ
n
1
1
)
,
(
θ
1
2
, . . . , θ
n
2
2
)
. Если полагать их
независимыми выборками из совокупностей с функциями распреде-
ления
F
1
(
t
) = 1
−
(1
−
t
)
m
1
, F
2
(
t
) = 1
−
(1
−
t
)
m
2
k
, то справедливо
следующее утверждение.
Лемма 2.
Пусть, как было определено выше,
_
F
1
=
d
1
(
t
)
n
1
,
_
F
2
=
d
2
(
t
)
n
2
— эмпирические функции распределения выборок
(
θ
1
1
, . . . , θ
n
1
1
)
,
(
θ
1
2
, . . . , θ
n
2
2
)
. Тогда
P
sup
t
(1
−
_
F
1
(
t
))
1
m
1
−
(1
−
t
)
−→
n
1
∞
0 = 1
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
79