Previous Page  12 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 12 / 17 Next Page
Page Background

Лемма 1.

Пусть

Y

(

t

)

— процесс, определенный выше. Существу-

ет монотонно возрастающее преобразование

t

=

ψ

(

τ

)

отрезка

[0

,

1]

на себя

[0

,

1]

[0

,

1]

,

при котором процесс

W

(

τ

) =

Y

(

ψ

(

τ

))

×

×

(1

ψ

(

τ

))

m

2

k

1

k

2

(1

ψ

(

τ

))

m

2

k

m

1

+

k

1

является броуновским мостом

.

J

Рассмотрим преобразование

τ

(

t

) =

k

2

(1

t

)

m

2

k

m

1

+

k

1

(1

t

)

m

2

k

k

2

(1

t

)

m

2

k

m

1

+

k

1

: [0

,

1)

[0

,

1)

.

При необходимости доопределим

τ

(1) = 1

. Нетрудно показать, что

τ

0

(

t

)

0

,

τ

(0) = 0

,

τ

(1) = 1

. Тогда существует обратное преобразо-

вание

t

=

ψ

(

τ

)

. Введем процесс

W

(

τ

) =

Y

(

ψ

(

τ

))

(1

ψ

(

τ

))

m

2

k

1

k

2

(1

ψ

(

τ

))

m

2

k

m

1

+

k

1

=

Y

(

ψ

(

τ

))

λ

(

ψ

(

τ

))

.

При

0

u

v <

1

,

ψ

(

u

) =

s

,

ψ

(

v

) =

t

имеем

E

[

W

(

τ

)] = 0

, E

[

W

(

u

)

W

(

v

)] =

=

λ

(

ψ

(

u

))

λ

(

ψ

(

v

))

E

[

Y

(

ψ

(

u

))

Y

(

ψ

(

v

))] =

=

λ

(

s

)

λ

(

t

)

E

[

Y

(

s

)

Y

(

t

)] =

(1

s

)

m

2

k

1

k

2

(1

s

)

m

2

k

m

1

+

k

1

(1

t

)

m

2

k

1

k

2

(1

t

)

m

2

k

m

1

+

k

1

×

×

(1

t

)

k

2

(1

s

)

m

2

k

m

1

+

k

1

(1

s

)

m

2

k

(1

s

)

m

2

k

1

=

=

(1

t

)

m

2

k

k

2

(1

t

)

m

2

k

m

1

+

k

1

k

2

(1

s

)

m

2

k

m

1

+

k

1

(1

s

)

m

2

k

k

2

(1

s

)

m

2

k

m

1

+

k

1

=

u

(1

ν

)

.

I

Рассмотрим выборки

(

θ

1

1

, . . . , θ

n

1

1

)

,

(

θ

1

2

, . . . , θ

n

2

2

)

. Если полагать их

независимыми выборками из совокупностей с функциями распреде-

ления

F

1

(

t

) = 1

(1

t

)

m

1

, F

2

(

t

) = 1

(1

t

)

m

2

k

, то справедливо

следующее утверждение.

Лемма 2.

Пусть, как было определено выше,

_

F

1

=

d

1

(

t

)

n

1

,

_

F

2

=

d

2

(

t

)

n

2

— эмпирические функции распределения выборок

(

θ

1

1

, . . . , θ

n

1

1

)

,

(

θ

1

2

, . . . , θ

n

2

2

)

. Тогда

P

sup

t

(1

_

F

1

(

t

))

1

m

1

(1

t

)

−→

n

1

0 = 1

,

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6

79