Previous Page  10 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 10 / 17 Next Page
Page Background

Асимптотическое распределение

T

.

Вид предлагаемой статисти-

ки

T

связан с тем, что ее асимптотическое распределение может быть

приближено классическим распределением Колмогорова – Смирнова.

Без ограничения общности можно полагать, что

P

1

(

t

) = 1

t,

P

2

(

t

) = (1

t

)

1

k

,

0

t

1

. Рассмотрим сначала процесс

X

1

(

t

) =

=

n

1

_

P

θ

1

(

t

)

(1

t

)

. В работе [2] была доказана следующая те-

орема, дающая выражение для асимптотической ковариации процесса

X

1

(

t

)

.

Теорема 4.

Пусть

0

s

t

Δ

<

1

,

тогда

K

1

(

s, t

) =

EX

1

(

s

)

X

1

(

t

)

EX

1

(

s

)

EX

1

(

t

)

−→

n

1

(1

t

)(1

s

)

1

(1

s

)

m

1

m

2

1

(1

s

)

m

1

.

Далее рассмотрим процесс

˜

X

2

(

t

) =

n

2

_

P

θ

2

(

t

)

(1

t

)

1

k

,

0

t

1

.

Метод получения асимптотической ковариации процесса

˜

X

2

(

t

)

полностью аналогичен методу определения ковариации

X

1

(

t

)

, при-

веденному в работе [2], и поэтому вид асимптотической ковариации

˜

K

2

(

s, t

) =

E

˜

X

2

(

s

) ˜

X

2

(

t

)

E

˜

X

2

(

s

)

E

˜

X

2

(

t

)

приводится без доказа-

тельства.

Теорема 5.

Пусть

0

s

t

Δ

<

1

,

тогда

˜

K

2

(

s, t

) =

E

˜

X

2

(

s

) ˜

X

2

(

t

)

E

˜

X

2

(

s

)

E

˜

X

2

(

t

)

−→

n

2

→∞

(1

t

)

1

k

(1

s

)

1

k

1

(1

s

)

m

2

k

m

2

2

(1

s

)

m

2

k

!

.

Для того чтобы получить асимптотическую функцию ковариации

процесса

X

2

(

t

) =

n

2

_

P

θ

2

(

t

)

k

(1

t

)

,

0

t

1

, воспользу-

емся следующим результатом [11].

Теорема 6.

Пусть

h

n

(

x

) =

n

(1

t

)

1

/k

+

x

n

k

(1

t

)

!

,

h

(

x

) =

k

(1

t

)

1

1

/k

x, x

D

[0

,

1]

, D

[0

,

1]

— пространство функций

без разрывов второго рода на

[0

,

1]

. Тогда последовательность

h

n

(

x

)

сходится в метрике Скорохода к

h

(

x

)

равномерно на ограниченных

множествах из

D

[0

,

1]

.

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6

77