3 / 15
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
29
Гладкая положительно определенная бесконечно большая при
x
функция
:
n
V
называется функцией Ляпунова аф-
финной системы (6) с возмущением, если существует такая функция
,
что
()
0,
:
| =
< 0,
inf
inf
k
m
m
u
u
x w x
w V
V Vu Vw
A B C
где
,
V
A
,
V
B
V
C
— производные функции
V
по векторным полям
=1
=1
=1
= ( ) ,
= ( ) ,
= ( ) .
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
a x
b x
c x
x
x
x
A
B
C
Приведем следующие результаты [1].
Теорема 2 (критерий функции Ляпунова для системы с воз-
мущениями).
Для того чтобы гладкая положительно определенная
бесконечно большая при
x
функция
( )
V x
была функцией Ляпу-
нова системы (6) с возмущением необходимо и достаточно существо-
вания такой функции
,
что
1
0 :
= 0
< 0.
x
V
V V x
B A C
(7)
Функция Ляпунова
( )
V x
системы с управлением
= ( , )
x f x u
удо-
влетворяет свойству малых управлений, если выполнено следующее
условие: для любого
> 0
есть такое
> 0,
что для любого
0,
x
< ,
x
существует значение
,
x
u
< ,
x
u
управления, при котором
=
( )
( ) |
=
( , ) < 0.
u u
x
x
V x
V x
f x u
x
Теорема 3.
Система (6) глобально стабилизируема при наличии
возмущений тогда и только тогда, когда для нее существует функция
Ляпунова системы с возмущением, удовлетворяющая свойству малых
управлений. При этом стабилизирующее управление может быть
вычислено по формуле
2
4
т
2
( ) ( ( ))
( )
( ( )) ,
( ) 0;
( ) =
( )
0,
( ) = 0,
s
x
x
V x
V x
V x
u x
V x
V x
B
B
B
B
B
(8)
где
1
( ) = ( )
.
x V x V x
A C