Previous Page  4 / 15 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 15 Next Page
Page Background

30

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

Преобразование аффинных систем с управлением к регуляр-

ному каноническому виду.

С помощью теоремы 3 можно найти ста-

билизирующее управление для аффинной системы с возмущениями в

том случае, когда известна соответствующая функция Ляпунова. Если

такая функция неизвестна, то вопрос о стабилизирующем управлении

остается открытым. Существует ли вообще управление, стабилизиру-

ющее аффинную систему с возмущениями, и как его найти? Ответ на

этот вопрос в некоторых случаях может быть дан с использованием

преобразования аффинных систем к эквивалентному каноническому

виду.

Рассмотрим систему вида

= ( ) ( )

( ) ,

,

,

,

n

x A x B x u C x w x

u w

  

  

(9)

где

т

1

( ) = ( ), ,

( ) ;

n

A x a x

a x

т

1

( ) = ( ), , ( ) ;

n

B x b x

b x

( ) =

C x

т

1

( ), , ( ) ;

n

c x

c x

(0) = 0;

A

( ), ( ), ( )

( ),

i

i

i

a x b x c x C

=1, , .

i

n

Функцию Ляпунова для невозмущенной системы

= ( )

( )

x A x B x u

(10)

можно найти с помощью преобразования к эквивалентному канониче-

скому виду.

Теорема 4.

Система (10) эквивалентна на подмножестве

n

 

системе канонического вида

1 2

1

;

;

( ) ( )

n

n

n

z z

z

z

z f z g z u

 

(11)

тогда и только тогда, когда на подмножестве

определена гладкая

функция

( ),

x

обладающая следующими свойствами:

1)

ad = 0,

k

n

A

x

 

B

= 0, ,

2,

k

n

где

0

ad =

A

B B

,

1

ad =

i

A

B

[ , ad ];

i

A

A B

2) отображение

1

т

( ) = ( ( ),

( ), ,

( ))

n

x

x

x

x

  

A

A

является диф-

феоморфизмом из подмножества

в

( )

 

. При этом

= ( ),

z

x

1 = ( )

( ) = ( )

,

n

x

z

f z

x



A

1

1 = ( )

( ) =

( )

.

n

x

z

g z

x



BA

На практике процедура поиска канонического вида состоит из сле-

дующих этапов: