5 / 15
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
31
1) поиск функции
( )
x
как неконстантного решения системы урав-
нений в частных производных из первого пункта условия теоремы 4;
2) построение отображения
( )
x
в соответствии с пунктом 2;
3) выбор подмножества
,
на котором будет рассматриваться по-
ведение системы. При этом отображение
( )
x
должно быть диф-
феоморфизмом из подмножества
в его образ
( ).
В теоретических выкладках для простоты примем, что
=
( ) =
n
(в противном случае необходимо учитывать ограничения
на состояния системы, так как вне подмножества
управление, по-
строенное с помощью канонического вида, не может быть использова-
но). Примем также, что на множестве
n
система (11) регулярна:
( ) ( ) 0.
z
g z
Предполагаемая функция Ляпунова для системы с возмуще-
нием.
Метод построения функций Ляпунова для аффинных систем с
возмущениями, эквивалентных регулярным системам канонического
вида, известен [15]. Для системы (11) стабилизирующим (в обычном
смысле) нулевое решение управлением будет управление [13]
1
=1
1
( ) =
( )
,
( )
n
i
i
i
u z
f z
k z
g z
где
i
k
— коэффициенты такие, что многочлен
1
1
n
n
n
k
1
0
k k
устойчив. Изменяя коэффициенты
,
i
k
можно варьировать
характер переходных процессов в замкнутой системе
0
1
2
1
0 1 0
0
0 0 1
0
= ,
= ...
...
...
...
...
.
0 0 0
1
n
z Kz K
k k k
k
(12)
Поскольку система (12) является линейной с постоянными коэф-
фициентами, для нее будет существовать функция Ляпунова в виде
квадратичной формы
т
т
( ) = ,
> 0,
< 0.
V z z Pz P K P PK
Тогда нуле-
вое решение системы (10) будет стабилизироваться управлением
1
1
=1
1
( ) =
( ( ))
( ) ,
( ( ))
n
i
i
i
u x
f
x
k
x
g x
A
(13)
а функция
т
( ) = ( )
( )
V x
x P x
(14)