7 / 15
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
33
где
2
1
min
1
= ( )
;
x
P x
2
2
max
2
= ( )
;
x
P x
min
( )
P
и
max
( )
P
— наменьшее и наибольшее собственные числа матрицы
квадратичной формы
Р
.
Вычислим производную
( )
V x
по векторному полю
B
(аргумент
x
для краткости опустим):
т
т
=1
=1
= ( )
= ( )
=
n
n
i
i
i
i
i
i
i
V
z
z
V b x
b x
Pz z P
x
x
x
B
=1
=1 =1
=1 =1
= ( )
=
n
n n
n n
j
k
i
jk k
j jk
i
i
i
j k
j k
z
z
b x
p z
z p
x
x
1
=1
=1 =1
=1 =1 =1
=1 =1
= 2 ( )
= 2
( )
= 2
;
n
n n
n n
n
n n
k
k
k
i
j jk
j
jk i
j
jk
i
i
i
j k
j
k
i
j
k
z
z
b x
z p
z p b x
z p
x
x
BA
но
1
0,
=1, ,
1;
=
( ),
= ,
k
k
n
g x k n
BA
поэтому
=1
= 2 ( )
,
n
j jn
j
V g x z p
B
отсюда
1
=1
=1
1
= 0
= 0
=
.
n
n
j jn
n
in i
nn
j
i
V
z p
z
p z
p
B
(19)
Аналогично
=1 =1 =1
=1 =1
= 2
( )
= 2
=
n n
n
n n
k
k
j
jk
i
j
jk
i
j
k
i
j
k
z
V z p a x
z p
x
A
A
1
1
1
1
=1
=1
=1 =1
=1
= 2
( ) = 2
2 ( )
.
n
n
n n
n
j
jk k
jn
j jk k
j jn
j
k
j k
j
z
p z
p f z
z p z
f z z p
С учетом (19) выражение
1
1 2
2 1
=0
1
1
1
=1 =1
=1 =1
=1 =1
2
|
= 2
= 2
n n
n n
n n
V
j jk k
j jk k
in i nk k
nn
j k
j k
k i
V
z p z
z p z
p z p z
p
B
A
2
1
1
1
, 1
2
=1
=1
=1
2
2
n
n
n
n n
j jk
in i
in i
nn
nn
j
i
i
p
z p p z
p z
p
p
представляет собой отрицательно определенную квадратичную форму
1
n
переменной.