6 / 15
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
будет функцией Ляпунова системы с управлением (10), замкнутой
управлением
( ).
u x
Это означает, что функция
( )
V x
будет функцией
Ляпунова для невозмущенной системы с управлением (10), причем для
нее выполнено свойство малых управлений (управление
u
и будет
управлением
x
u
из определения свойства). В свою очередь, это озна-
чает
0 ( ) = 0
( ) < 0.
x
V x
V x
B
A
Это иногда дает возможность для нахождение функции
1
( ),
x
для которой выполняется условие критерия функции Ляпунова для
системы с возмущением (7). В частности, для системы
= ( ) ( )(
)
x A x B x u w
(15)
условие (7) будет выполняться для любой допустимой функции
1
( )
x
[15].
Постановка задачи.
Далее будет рассмотрена задача поиска фун-
кций Ляпунова для аффинных систем с возмущениями в случае ска-
лярного управления и скалярного возмущения, эквивалентных на мно-
жестве
n
регулярным системам канонического вида.
В настоящей работе исследован вопрос о подмножестве систем (9),
для которых функция Ляпунова
( )
V x
может быть получена в виде
(14). Для таких систем глобальная стабилизация при наличии возму-
щений может быть осуществлена с помощью управления (8), постро-
енного для функции
( ).
V x
Далее для краткости назовем эти системы
канонически стабилизируемыми. Как уже было отмечено, системы ви-
да (15) являются канонически стабилизируемыми; оказывается, ими не
исчерпывается подмножество канонически стабилизируемых систем.
Критерий (7) ниже будет преобразован к виду, удобному для проверки
канонической стабилизируемости аффинных систем, приводящихся к
регулярному каноническому виду.
Условия канонической стабилизируемости аффинных систем
со скалярным управлением.
Рассмотрим систему (9), для которой
соответствующая система (10) эквивалентна на множестве
n
регу-
лярной системе канонического вида (11). Пусть соответствующий
диффеоморфизм
= ( )
z
x
удовлетворяет условию
1
2
1 2
,
,
,
x
z
x
(16)
или
1
1
2
1
.
z
x
z
(17)
Выполнение условий (16) и (17) гарантирует, что
1
2
( )
,
x V x
x
(18)