8 / 15
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
Пусть система (10) замкнута некоторым управлением
( ),
u x
тогда,
значения производной функции Ляпунова
(10),
( )
( ) |
=
( )
u u x
V x
V u x V
A B
на множестве
{ :
( ) = 0}
x BV x
не зависят от управления
( ) :
u x
(10), = ( ),
=0
( ) |
.
u u x V
V x
V
B
A
Этот факт можно использовать для оценки
значения
=0
|
.
V
V
B
A
С одной стороны, выбрав управление
( )
u x
по фор-
муле
(13),
получим
т т
(10), = ( )
( ) |
= ( )
( ),
u u x
V x
x K P PK x
поэтому
т т
(10),
=0
|
= ( )
( )
V
V
x K P PK x
B
A
и
(10),
= 0
V
V
B
A
т
2
max
( ) .
K P PK x
С другой стороны,
1
=1 =1 =1
=1 =1
= 2
( )
= 2
=
n n
n
n n
k
k
j
jk i
j
jk
i
j
k
i
j
k
z
V z p c x
z p
x
C
CA
1
1
1
=1
=1
= 2
=
n
n
k
n
j
jk
jn
j
k
z
p
p
CA
CA
1
1
1
=1 =1
=1
2
2
.
n n
n
k
n
j
jk
j jn
j
k
j
z p
z p
CA
CA
Учитывая (19), получаем
1
1
т
=0
=1 =1
= 2
= 2 ,
n n
k
j
jk
V
j
k
V
z p
z Pd
B
C
CA
где
2
т
= ( ,
, ,
, 0) .
n
d
C CA CA
Тогда
=0
2
|
2
=
V
V
z P d
B
C
max
2 ( ) || || || || .
P z d
Таким образом, если для
1
x
1
=1
max
max
:
( ) = 0
<
( ) ,
2 ( )
n
n
j
jn
j
T
x
z x p
d
x
K P PK
x
P
(20)
то условие (7) будет выполнено. Пусть
,
n
x
d M
(21)
где
> 0.
M
В выражении (20) достаточно выбрать
1
1
=
,
x
x
M
где
т
max
max
0 < <
.
2 ( )
K P PK
P