11 / 17
Численная схема высокого порядка точности…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
103
2
( )
( , )
( , )
( , )
( )
( )
2
=1 =0
=1
=1
1
1
1
1
=
2
2
2
2
r
r
N
N
N
u
u r
u r
r u
u r
r
i
i
j
ij
j
ijk
jk
k
r
r
j u
i
i
k
k
L
L
J
J
J
J
J
L
L
=1 0
1
=
( )
( )
,
=1, , ,
= 0, 1, 2,
L
r
iN
r
i
ik
r
i
k
V
I
d k
N r
L
2
( ) ( )
=1 =0
= .
N
u u
j
j
j u
J
(12)
Если рассматривать кусочно-линейное распределение интенсивности вих-
ревого слоя на участках профиля над панелями, то переменные
r
и
u
(индексы,
по которым выполняется суммирование) в системе (12) будут принимать значе-
ния
0
и
1.
Для приближенного вычисления всех интегралов, входящих в систему (12),
были применены квадратурные формулы Гаусса наивысшего порядка точности,
использующие
gp
n
узлов, в соответствии с которыми
=1
( )
,
2
2 2
n
b
gp
k
k
k
a
b a
a b b a
f x dx
f
где значения весовых коэффициентов
k
и положения гауссовых точек
,
k
x
=1, ,
,
gp
k
n
выбирают стандартным образом [14].
В настоящей работе использовано значение
= 7.
gp
n
В тех случаях, когда
приближенные формулы Гаусса не обеспечивали достаточной точности вычис-
ления интегралов, что обычно наблюдалось при вычислении интегралов по со-
седним панелям, применяли процедуру дополнительной разбивки каждой па-
нели на
= 4
add
N
панели меньшей длины. При необходимости вновь образо-
ванные «мелкие» панели подвергали повторной доразбивке.
Вычислительные эксперименты показывают, что учет якобиана
( )
i
J
мало
влияет на точность решения при достаточно большом числе панелей, поэтому
на практике можно приближенно принять, что
( ) 1;
i
J
это несколько упроща-
ет расчеты.
Отметим, что при реализации описанного алгоритма в каком-либо матема-
тическом пакете (MatLAB, Mathematica и др.) могут быть использованы встро-
енные алгоритмы численного интегрирования, что может негативно влиять на
время вычисления квадратур, однако значительно упрощает разработку соот-
ветствующих подпрограмм.
Вычислительный эксперимент.
Рассмотрим задачу расчета обтекания кру-
гового профиля радиусом
= 1,
R
эллиптического профиля с полуосями
1
=1,0,
a
1
= 0,5
b
и профиля Жуковского с параметрами
= 3,5,
a
= 0, 4,
d
= 0,3,
h
установ-
ленного под углом атаки
= / 6.
Точное аналитическое решение.
Точное аналитическое решение задачи для
эллиптических профилей и профилей Жуковского, используемое для контроля