Previous Page  2 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 17 Next Page
Page Background

О новой форме представления решения задачи Коши…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

27

Поэтому эволюцию системы из начального состояния

  

2

0

(0) =

( )

L Q

в состояние

 

2

( ) ( )

t L Q

можно описать как результат действия некоторого унитарного опера-

тора

( )

U t

на состояние

0

,

т. е.

0

( ) = ( ) .

t U t

Оператор эволюции

( )

U t

связан с

гамильтонианом системы соотношением

( ) = ,

it

U t e

где

— гамильтониан си-

стемы, описывающий состояние

( )

t

с помощью задачи Коши для уравнения

Шредингера

 

( ) = ( ),

t

i t

t

 

0

(0) = .

В общем случае гамильтониан

представля-

ет собой самосопряженный оператор в пространстве

2

( ),

L Q

имеющий плотную об-

ласть определения. Таким образом, для однозначного задания эволюции системы

необходимо знать или гамильтониан

, или (при каждом

)

t

оператор эволю-

ции

( ).

U t

Обычно гамильтониан известен, а оператор эволюции нет. К сожалению,

формула

( ) =

it

U t e

непригодна для непосредственного вычисления

( )

U t

при из-

вестном гамильтониане

в случае, если оператор

неограничен, а в содержа-

тельных примерах это именно так. Поэтому выражение

( ) =

it

U t e

через гамильто-

ниан

равносильно решению для каждого

 

2

0

( )

L Q

задачи Коши

 

( ) = ( ),

t

i t

t

 

0

(0) = .

Известно несколько случаев, когда гамильтониан

системы так прост,

что решение задачи Коши можно описать небольшой явной формулой, например,

для атома водорода. В общем случае такие формулы не известны.

Однако, если удалось построить сильно непрерывное семейство ограничен-

ных самосопряженных операторов, касательное по Чернову к оператору

,

то

можно применить приводимую в настоящей работе теорему 3 и получить опе-

ратор

( )

U t

в виде квазифейнмановской формулы. Это и сделано для простого

модельного случая.

Фейнмановские и квазифейнмановские формулы.

Фейнмановская формула

(формула Фейнмана)

представляет собой равенство следующего вида: слева стоит

определяемая равенством функция, а справа — предел кратного интеграла при

стремящейся к бесконечности кратности. Такое определение было впервые введено

О.Г. Смоляновым [2] и восходит к пионерским работам Р.Ф. Фейнмана [3, 4], кото-

рый впервые использовал равенства такого вида на физическом уровне строгости.

Подробнее фейнмановские формулы рассмотрены в работах [5–7].

Научной группой О.Г. Смолянова в 2002–2015 годах в виде фейнмановских

формул были построены решения задачи Коши для многих уравнений вида

( , )= ( , ),

t

u t x Lu t x

называемых эволюционными уравнениями (или уравнениями

эволюции, уравнениями эволюционного типа). К этому типу также относят

уравнение теплопроводности (простой одномерный пример такого уравнения

( , )= ( , ) ( ) ( , ),

t

xx

u t x u t x V x u t x



2 2

= /

)

L

x V

  

и уравнение Шредингера (простой од-

номерный пример уравнения

( , )

t

t x



( , ) ( ) ( , ),

xx

i

t x iV x u t x



   

=

L

   

2 2

( /

)).

i

x V

Ключевым моментом указанного построения было использование теоремы

Чернова, а также построение для каждого уравнения специального семейства

операторов. Требовалось предъявить семейство линейных ограниченных опе-

раторов, эквивалентное по Чернову

C

0

-полугруппе с генератором

.

L