Previous Page  8 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 8 / 17 Next Page
Page Background

О новой форме представления решения задачи Коши…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

33

СТ) функция

G

касается по Чернову оператора

;

L

N) существует такое число

,



что

( )

t

G t

e

при всех

0.

t

Тогда для каждого

f

справедливо, что

n

tL

t G f

e f

n

        

   

при



,

n

где предел равномерен по

0

[0, ]

t

t

при каждом фиксированном

0

> 0.

t

Определение 3.

Пусть

— банахово пространство и

( )

 

— простран-

ство всех линейных ограниченных операторов в

,

наделенное операторной

нормой. Две определенные на

[0,

)



(или на

)

функции

1

G

и

2

G

со значениями

в

( )

 

называют эквивалентными по Чернову [18], если

1

2

(0) = (0) =

G G I

и при

всех

f

и всех

> 0

T

1

2

[0, ]

(соответственно [ , ])

= 0.

sup

lim

n

n

n

t

T

t

T T

t

t

G f

G

f

n

n



 

   

   

   

   

   

   

Замечание 2.

Существует несколько близких определений эквивалентности по Чернову

[7, 18, 19]. Не углубляясь в их сравнение, следуем определению, приведенному в работе [18].

Единственное, что необходимо от этого определения, заключается в следующем: если функ-

ция

1

G

и оператор

L

удовлетворяют условиям теоремы Чернова, то функция

1

G

эквива-

лентна по Чернову функции

2

( ) = .

tL

G t e

Другими словами, предел выражения

1

( ( / ))

n

G t n

при

n



дает сильно непрерывную полугруппу

0

( )

tL

t

e

(или группу

( ) ).

tL

t

e

Замечание 3.

В случае, когда при каждом

t

оператор

( )

G t

интегральный, равенство

 

= lim /

n

tL

n

e f

G t n f



является фейнмановской формулой. Действительно,

 

2

/ 2

G t

f

двойной интеграл,

 

3

/ 3

G t

f

— тройной и т. д.

Теорема 3 [12].

Пусть

— комплексное гильбертово пространство, а

Dom( )

H

— его плотное линейное подпространство. Пусть оператор

: Dom( )

H H

линеен и самосопряжен, ненулевое число

a

(положитель-

ное или отрицательное) фиксировано, функция

S

касается по Чернову опера-

тора

,

H

и

*

( ( )) = ( )

S t

S t

для каждого

0.

t

Для каждого

t

примем

( ) =

R t

exp[ ( (| |) )sign( )]

ia S t

I

t

1

. Тогда функция

R

эквивалентна по Чернову группе

(

)

iatH

t

e

и для каждого фиксированного

f

верны равенства

( (| / |) )sign( )

( (| / |) )sign( )

=

,

=

;

lim

lim

n

iatH

ia S t n I

t

iatH

ian S t n I

t

n

n

e f

e

f e f

e

f





(4)

=0

( sign( ))

=

( (| / |) )

;

lim lim

!

m

k

iatH

m

n k m

ian t

e f

S t n I

f

m

 

(5)

=0 =0

( 1) ( sign( ))

=

( (| / |))

;

lim lim

!(

)!

m q

m

k m

iatH

q

n k m q

ian t

e f

S t n f

q m q

 

 

(6)

__________________ 

1

Такое определение корректно, поскольку при каждом

t

в показателе экспоненты стоят

линейные ограниченные операторы в пространстве

.