Previous Page  10 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 10 / 17 Next Page
Page Background

О новой форме представления решения задачи Коши…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

35

2

( ( ) (

))

1 exp

(

) , если

0;

( ) ( ) =

2

2

2

( ),

если

0.

t V x V x y y f x y dy

t

S t f x

t

t

f x

t

 

 

(11)

Предложение 1.

Функция

2

:[0,

)

( ( ))

S

L

 

определена корректно, т. е.

она действительно отображает полуинтервал

[0,

)



в пространство

2

( ( ))

L

всех линейных ограниченных операторов, действующих из

2

( )

L

в

2

( ).

L

1. Оператор

( )

F t

ограничен при каждом

0,

t

поскольку представляет

собой оператор умножения на ограниченную функцию

exp[ ( ) / 2].

x

tV x

2. Оператор

( )

B t

также является ограниченным

0,

t

 

что следует из нера-

венства

2

2 (

)

2

1

2 ( )

( )

< .

2

x y

t e

f y dy dx f x dx

t

 

Докажем это неравенство в несколько шагов с помощью эквивалентных

преобразований, оценки интеграла, теоремы Фубини и теоремы Тонелли. Из

неравенства видно, что

( ) 1.

B t

3. Поскольку для любого

[0,

)

t

 

операторы

( )

F t

и

( )

B t

ограничены, то

ограничен и оператор

( ) = ( ) ( ) ( ).

S t F t B t F t

Из ограниченности оператора

( )

S t

следует, что для любой функции

2

( )

f L

ее образ

( )

S t f

также принадлежит

пространству

2

( ).

L

4. Линейность оператора

( )

S t

для каждого

[0,

)

t

 

очевидна в силу ли-

нейности интеграла Лебега.

Предложение 2.

Для каждого

> 0

t

оператор

( )

S t

самосопряжен.

1. Оператор

( )

F t

самосопряжен для каждого

0,

t

поскольку он является

оператором умножения на вещественнозначную функцию.

2. Самосопряженность оператора

( )

B t

для каждого

0

t

показывается эк-

вивалентными преобразованиями и использованием теоремы Фубини и теоре-

мы Тонелли, либо с помощью свойств унитарного преобразования Фурье и тео-

ремы о свертке.

3. Самосопряженность оператора

( )

S t

следует из самосопряженности опе-

раторов

( )

B t

и

( )

F t

и того, что

( )

S t

— их симметричная композиция:

( ) ,

= ( ) ( ) ( ) , = ( ) ( ) , ( ) =

S t f g F t B t F t f g B t F t f F t g

 

 

= ( ) , ( ) ( ) = , ( ) ( ) ( ) = , ( ) .

F t f B t F t g f F t B t F t g f S t g

 

 

 

Предложение 3.

Семейство операторов

0

( ( ))

t

S t

удовлетворяет первому

условию касания по Чернову оператора

,

H

т. е. для любого фиксированного

2

( )

f L

функция

( )

t S t f

непрерывна на полуинтервале

[0,

).



В целях установления для некоторого семейства операторов

2

2

0

( ( ))[ ] : ( )

( )

t

t

L

L

 

непрерывности функции

( )

t

t f

достаточно