Previous Page  11 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 11 / 17 Next Page
Page Background

Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов

36

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

проверить эквивалентную ей секвенциальную непрерывность:

0

[0,

)

t

  

из

0

0,

n

n

t

t

t

 

следует, что

0

( )

( )

n

t f

t f

 

в

2

( ).

L

Доказательство состоит из

пяти шагов, каждый из которых заключается в проверке непрерывности:

1) функции

( )

t F t f

на полуинтервале

[0,

)



при фиксированном

2

( );

f L

2) функции

( )

t B t f

на интервале

(0,

)



при фиксированном

2

( );

f L

3) функции

( )

t B t

в нуле при фиксированном

0

( );

C



4) функции

( )

t B t f

в нуле при фиксированном

2

( );

f L

5) функции

( )

t S t f

на полуинтервале

[0,

)



при фиксированно

2

( ),

f L

при уже доказанной непрерывности функций

( )

t F t f

и

( ) .

t B t f

Предложение 4.

Семейство операторов

0

( )

t

S t

удовлетворяет второму

условию касания по Чернову оператора

,

H

т. е.

(0) = .

S I

Поскольку

(0) =

B I

и

(0) = ,

F I

(0) = (0) (0) (0) = .

S F B F I

 

Предложение 5.

Семейство операторов

0

( )

t

S t

удовлетворяет третьему

условию касания по Чернову оператора

,

H

т.

е. для любого

0

( )

C



суще-

ствует

0

( )

(0) :=

.

lim

t

S t

S

t



Оператор

( )

S t

допускает представление в виде

=( )( )

1

( ( ) )( ) = ( )

( ) ( ) ( )

( , ),

2

H x

S t

x x t

x V x x A t x



      



где

( , ) = ( )

A t x o t

в

2

( ).

L

Такое представление обосновывается за три шага.

Сначала в интегральном представлении (11) для

( ( ) )( )

S t

x

заменим все участ-

вующие функции их приближениями многочленами по формуле Тейлора с

остаточным членом в форме Лагранжа. Затем раскроем скобки и сгруппируем

члены при одинаковых степенях .

t

Далее часть получившихся определенных

интегралов вычислим, а часть — оценим, используя ограниченность производ-

ных и представление остаточных членов в форме Лагранжа.

Предложение 6.

Оператор

1 :

2

H f

f

Vf

 

отображает пространство

2

2

( )

W

в пространство

2

( ).

L

Утверждаемый факт следует из определения пространства Соболева

2

2

( )

W

и ограниченности функции

.

V

Предложение 7.

Семейство операторов

0

( ( ))

t

S t

удовлетворяет четвер-

тому условию касания по Чернову оператора

,

H

т. е. оператор

0

( (0),

( ))

S C

замыкают и

2

0

2

( (0),

( )) = ( ,

).

S C

H W

1. В доказательстве третьего условия касания по Чернову было установле-

но, что

1

(0) =

=

2

S

V H



    

для всех

0

( ).

C

