Previous Page  7 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 17 Next Page
Page Background

Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов

32

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

Теорема 1

(Теорема Чернова) [16, 17].

Пусть

— банахово пространство и

( )

 

— пространство всех линейных ограниченных операторов в

.

Пусть дана

функция

: [0,

)

( ),

G

 

 

непрерывная на каждом векторе,

(0) = ,

G I

( )

t

G t

e

с некоторой постоянной



.

Пусть есть такое плотное подпро-

странство

,

 

что при всех

f

существует предел

1

0

lim ( ( )

),

t

t G t f f

зна-

чение которого обозначим

(0) .

G f

Предположим, что

(0)

G

на

обладает замы-

канием

,

C

и что

C

является генератором сильно непрерывной полугруппы

0

( ) .

t t

W

Тогда для всякого

f

имеем

( / )

n

t

G t n f

W f

при



n

равномерно

по t из каждого отрезка

0

[0, ]

t

при каждом

0

> 0.

t

Изложим теорему Чернова в удобной для дальнейшего применения

форме [12]. Содержание теоремы остается тем же, но условия теоремы разби-

ваются на блоки: (E)xistence — существование полугруппы; (C)hernoff

(T)angency — касание по Чернову; (N)orm bound — оценка сверху на рост нор-

мы. Сперва приведем определение касания по Чернову.

Определение 2.

Пусть

— банахово пространство и

( )

 

— простран-

ство всех линейных ограниченных операторов в

.

Пусть даны функция

: [0,

)

( )

G

 

 

(или семейство

0

( ( )) )

t

G t

и замкнутый линейный оператор

: Dom( )

L

L

с областью определения

Dom( )

.

L

Будем утверждать, что

функция

G

касается по Чернову оператора

,

L

если выполняются следующие

условия:

СТ1) функция

G

сильно непрерывна (непрерывна при наделении

( )

 

силь-

ной операторной топологией), т. е. отображение

( )

t G t f

непрерывно на

отрезке

[0,

)



для каждого

;

f

СТ2)

(0) = ,

G I

т. е.

(0) =

G f f

для каждого

;

f

СТ3) существует такое плотное в пространстве

линейное подпростран-

ство

,

 

что при всех

f

существует предел

0

( ( )

) / ,

lim

t

G t f f t

зна-

чение которого обозначим через

(0) ;

G f

СТ4) замыкание оператора

( (0), )

G

существует и равно

( ,Dom( )).

L

L

Замечание 1.

В определении касания по Чернову семейство

0

( ( ))

t

G t

не обязано быть

полугруппой. Однако каждая

C

0

-полугруппа касается по Чернову своего генератора.

Используя определение касания по Чернову, сформулируем теорему Чернова.

Теорема 2.

Пусть

— банахово пространство и

( )

 

— пространство

всех линейных ограниченных операторов в

,

наделенное операторной нормой,

даны функция

 

:[0,

)

( )

G

 

(или семейство

0

( ( ))

t

G t

) и замкнутый линей-

ный оператор

: Dom( )

L

L

с областью определения

Dom( )

.

L

Пусть вы-

полнены условия:

Е) полугруппа

0

( )

tL

t

e

существует, обладает свойством сильной непрерыв-

ности, и ее генератор

( ,Dom( ));

L

L