Previous Page  12 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 12 / 17 Next Page
Page Background

О новой форме представления решения задачи Коши…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

37

2. Показано, что оператор

0

( ,

( ))

H C

симметричен на своей плотной в про-

странстве

2

( )

L

области определения, следовательно, он допускает замыкание.

3. Оператор

:=

Lf Vf

ограничен (как оператор умножения на ограниченную

функцию), и поэтому оператор

0

( ,

( ))

H C

имеет ту же область определения,

что и оператор

0 0

( ,

( )),

H C

где

0

1= .

2

H f

f



4. Из определения пространства

2

2

( )

W

следует, что область определения

оператора

0 0

( ,

( ))

H C

есть

2

2

( ).

W

Предложение 8.

Оператор

2

2

( ,

( ))

H W

самосопряжен.

1. Согласно определению пространства

2

2

( ),

W

определению сопряжен-

ного оператора и того, что равенство

( ) ( ) = ( ) ( )

f x g x dx f x g x dx





справедли-

во для всех

2

2

,

( ),

f g W

оператор

2

0 2

( ,

( ))

H W

самосопряжен, где

0

1= .

2

H f

f



2. Оператор

V

  

определен всюду в пространстве

2

( )

L

и самосопря-

жен, так как функция

V

ограничена и принимает лишь вещественные значе-

ния.

3. Оператор

H

является суммой операторов, полученных в пп. 1 и 2.

Теорема 4.

Пусть

0

,

a

 

,

,

x t

2

0

( )

L

 

и функция

:

V

 

ограничена и имеет ограниченную первую производную. Тогда задача Коши (1)

имеет единственное в пространстве

2

( )

L

решение, представимое в виде ра-

венства (2)

,

которое справедливо для почти всех

.

x

Объединяя все доказанное выше, получаем, что для функции

S

и опера-

тора

Н

выполняется предполагающая часть теоремы 3, т. е. функция

S

касается

по Чернову оператора

,

H

и

0

t

 

операторы

( )

S t

и

H

— самосопряженные

линейные операторы. Это позволяет применить теорему 3 к рассматриваемому

случаю и получить квазифейнмановские формулы для

.

itaH

e

По теореме 3 ре-

шение задачи Коши (3) единственно в пространстве

2

( )

L

и согласно (6) может

быть представлено в виде

=0 =0

( 1)

(sign( ))

(| / |) .

( , ) = lim lim

!(

)!

m q m m m

m

k m

q

n k m q

i a n

t

S t n

t x

q m q

 

 

(12)

Распишем подробнее

(| / |) .

q

S t n

Для

= 2

q

имеем

2

1

1

2

1

1 2

2

1 2 2 1

| | ( ( ) (

))

( (| / |) (| / |) )( ) =

exp

2 | |

2

2 | |

2 | |

| | ( (

) (

))

exp

(

)

=

2

2 | |

t V x V x y ny

n

n

S t n S t n f x

t

n

t

t

t V x y V x y y

ny f x y y dy dy

n

t

 

   

 