Previous Page  5 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 17 Next Page
Page Background

Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов

30

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

такого рода задач. Авторы настоящей работы хотят продемонстрировать аль-

тернативный метод, позволяющий находить решение задачи Коши (т. е. неиз-

вестную волновую функцию

)

без решения задачи о собственных функциях и

собственных числах или сведения к другой проблеме.

Следует отметить, что настоящее сообщение носит теоретический характер

и написано скорее с точки зрения математика, чем физика, что и объясняет вы-

бор методов. Здесь не рассмотрен физический смысл коэффициента

,

a

не

найден энергетический спектр частицы, не решены связанные с исследуемым

уравнением физические задачи.

При нормировке волновой функции использован стандартный квантово-

механический подход. Оператор

( )

U t

унитарный, поэтому при каждом

t

спра-

ведливо равенство

0

0

= ( ) = ( , ) ,

U t

t

   

однако один содержательный вопрос

может быть поставлен: неизвестно, имеет ли место для стоящих под знаком

предела выражений это же свойство.

Основной результат работы — доказанная теорема 4.

Уравнение Шредингера в виде

= .

t

L

 

Перепишем условия задачи Коши

(1) в виде, удобном для дальнейших построений

0

= ;

(0) = ,

t

iaH

 

 

(3)

где

1

( )( ) = ( ) ( ) ( ).

2

Hf x f x V x f x



Это позволит свести нахождение решения изу-

чаемой задачи Коши к нахождению полугруппы с генератором

,

iaH

поскольку в

пространстве

2

( )

L

справедливо равенство

0

( , ) =

( ).

iatH

t x e

x

Подробнее

возможность такого представления рассмотрена в работе [12].

Сильно непрерывные (полу)группы операторов.

Приведем минимальный

набор сведений о сильно непрерывных (полу)группах, или

C

0

-(полу)группах

операторов, необходимый для понимания их роли в теории эволюционных

уравнений с частными производными. Все классические определения и утвер-

ждения могут быть найдены, например, в работах [13–15]. Из неклассических

фактов изложена только теорема 3, предложенная И.Д. Ремизовым в 2014 г., а

также понятие касания по Чернову и формулировка теоремы Чернова, опира-

ющаяся на это понятие.

Определение 1.

Пусть

— банахово пространство над полем

,

( )

 

— пространство всех линейных ограниченных операторов в простран-

стве

. Пусть дано отображение

: [0,

)

( ),

W

 

 

т. е. если

0

t

фиксировано, то

( )

W t

— линейный ограниченный оператор, отоб-

ражающий

в

.

Отображение

W

называется C

0

-полугруппой, или сильно не-

прерывной однопараметрической полугруппой операторов, если оно удовлетворяет

трем условиям: