Previous Page  6 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 17 Next Page
Page Background

О новой форме представления решения задачи Коши…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

31

1) отображение

(0)

W

— тождественный оператор

,

I

  

: (0) = ;

W

2) отображение

W

сопоставляет сложению чисел в

[0,

)



композицию опе-

раторов в

( ),

 

0,

0 : ( ) = ( ) ( ),

t

s

W t s W t W s

   

где использовано обозна-

чение

(

)( )= ( ( ))

A B A B

 

для каждого



;

3) отображение

W

непрерывно при наделении пространства

( )

 

сильной

операторной топологией,



функция

( )

t W t

непрерывна как отобра-

жение

[0,

)

.

 

Определение

C

0

-группы получают заменой

[0,

)



пространством

.

Если

0

( ( ))

t

W t

0

C

-полугруппа в банаховом пространстве

,

то множе-

ство



  

 

denote

0

( )

lim :

= Dom( )

t

W t

L

t

плотно в пространстве

.

Оператор

,

L

определенный на

Dom( )

L

равенством



 

0

( )

lim=

,

t

W t

L

t

называется инфинитезимальным генератором (генератором)

C

0

-полугруппы

0

( ( )) .

t

V t

Генератор является замкнутым линейным оператором, который од-

нозначно определяет

0

C

-полугруппу, и обозначается как

( )= .

tL

W t e

Если

L

ограниченный оператор, и

Dom( ) = ,

L

то оператор

tL

e

представляет собой

экспоненту, определяемую степенным рядом

=0

=

,

!

k k

tL

k

t L

e

k

сходящимся по нор-

ме в пространстве

( ).

 

В более интересных и актуальных для приложений

случаях генератор представляет собой неограниченный дифференциальный

оператор, например, лапласиан

.

Одна из причин для изучения

C

0

-полугрупп — их связь с дифференциаль-

ными уравнениями. Если

Q

— множество, то функцию

  

:[0,

)

u

Q

,

: ( , )

( , )

u t x u t x

двух переменных

,

t x

можно представить в виде функции

:

[

( , )]

u t

x u t x

 

одной переменной

t

со значениями в пространстве функ-

ций переменной

x

. Если

( , )

,

u t

 

то можно определить

( , ) = ( ( , ))( ).

Lu t x Lu t

x

Если существует

0

C

-полугруппа

0

( ) ,

tL

t

e

то задача Коши

0

( , ) = ( , ) для > 0,

;

(0, ) = ( ) для

t

u t x Lu t x

t

x Q

u x u x

x Q

имеет единственное (в смысле

,

где

( , )

u t

 

для каждого

0)

t

решение

0

( , )=( )( ),

tL

u t x e u x

непрерывно зависящее от

0

.

u

При существовании сильно

непрерывной группы

( )

tL

t

e

в задаче Коши уравнение

( , ) = ( , )

t

u t x Lu t x

можно

рассматривать не только для

> 0,

t

но и для

,

t

и решение представляют той

же формулой

0

( , )=( )( ).

tL

u t x e u x

Подробнее полугруппы и их связи с дифферен-

циальными уравнениями рассмотрены в работах [13, 14].