Previous Page  3 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 17 Next Page
Page Background

Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов

28

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

Известно, что строить такие семейства для уравнения Шредингера гораздо

труднее, чем для уравнения теплопроводности. Приведем два примера. В 2012–

2013 годах для уравнений теплопроводности и Шредингера с

n

x

фейнманов-

ские формулы были построены А.С. Пляшечником, причем в рассмотренном им

случае коэффициенты уравнений могли зависеть от времени; решение уравне-

ния Шредингера потребовало регуляризации с помощью малого параметра

[8, 9]. Для не зависящей от времени правой части И.Д. Ремизовым было получе-

но решение уравнения теплопроводности с бесконечномерным гильбертовым

пространством координат в виде фейнмановской формулы [10, 11], а для соот-

ветствующего уравнения Шредингера сделать этого не удалось в связи с беско-

нечномерной спецификой задачи. Тогда была предпринята попытка найти ка-

кие-либо пути решения бесконечномерного уравнения Шредингера, для кото-

рых бесконечномерность не была бы центральным местом.

В 2014 г. И.Д. Ремизов установил, что, если несколько расширить класс до-

пустимых представлений решения, то семейства, построенные для уравнения

теплопроводности, можно использовать после некоторой модификации для

решения уравнения Шредингера [12]. Так было сформулировано приведенное

ниже определение.

Квазифейнмановская формула

— равенство, в котором слева стоит опреде-

ляемая равенством функция, а справа — выражение, содержащее кратные инте-

гралы сколь угодно большой кратности. В отличие от фейнмановских, квази-

фейнмановские формулы в правой части могут содержать суммирование или

другие операции.

Предложенный метод модификации семейств оказался достаточно общим и

гибким, чтобы применять его не только для той задачи, для решения которой он

был разработан. Метод работает на уровне полугрупп операторов, поэтому ре-

шаемое уравнение Шредингера может иметь произвольный самосопряженный

гамильтониан и произвольное конфигурационное пространство, лишь бы суще-

ствовали семейства для соответствующего уравнения теплопроводности.

Постановка задачи и ее решение.

Главная задача работы — доказательство

того, что задача Коши для уравнения Шредингера на прямой

2

2

0

1

( , ) =

( , ) ( ) ( , );

2

(0, ) = ( )

i

t x

t x V x t x

a t

x

x

x

    

 

(1)

имеет единственное решение в пространстве

2

( ),

L

задаваемое справедливым

для почти всех

x

равенством (квазифейнмановской формулой)

 



 

/2

=0 =0

( 1)

(sign( ))

lim lim

( , ) =

!(

)!

2 | |

q

m q m m m

m

k m

n k m q

i a n

t

n

t x

q m q

t