Previous Page  9 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 9 / 17 Next Page
Page Background

Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов

34

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1

sign( )

sign( )

=

1

(| / |))

;

lim lim

k

iatH

n k

ian t

ian t

e f

I

S t n

f

k

k

 

(7)

=0

![

sign( )] [ sign( )]

=

( (| / |)) ;

lim lim

!(

)!

k q

q

k

iatH

q

k

n k q

k k ian t

ian t

e f

S t n f

q k q k

 

(8)

=0 =0

( 1)

!( sign( ))

=

( (| / |))

.

lim lim

! !(

)!

k m q

k q

k k m

iatH

m

k q

n k m q

k ian t

e f

S t n f

m q k m q k

 

 

 

 

(9)

Пределы в (4)–(9) существуют по норме в пространстве

.

Замечание 4.

Если оператор

( )

S t

— интегральный, то равенства (5)–(9) — квази-

фейнмановские формулы.

Основные результаты.

Рассмотрим предложенный А.С. Пляшечником мо-

дельный пример, который показывает, какие конкретно квазифейнмановские

формулы получаются в результате использования теоремы 3. В качестве гиль-

бертова пространства

взято пространство

2

2

( ) = ( , ,

)

L

L L

  

— простран-

ство всех квадратично интегрируемых по Лебегу функций, определенных на

и принимающих значения в

,

факторизованное по отношению равенства

функций почти всюду относительно меры Лебега. Рассмотрим пространство

2

2

2

( ( ))= ( ( ), ( ))

b

L

L L L

 

всех линейных ограниченных операторов, действу-

ющих из

2

( )

L

в

2

( ).

L

В качестве оператора

H

принимаем оператор следую-

щего вида (оператор Гамильтона с обратным знаком):

1

( )( ) = ( ) ( ) ( ),

2

Hf x

f x V x f x



где

1

( , )

b

V C

 

— вещественнозначная ограниченная функция с непрерывной

ограниченной производной.

Функцию

S

строим в два этапа. Сперва определим функцию

: [0,

)

F

 

2

( ( ))

L

равенством

( ( ) )( ) = exp

( ) ( ),

2

t

F t f x

V x f x



а функцию

2

:[0,

)

( ( ))

B

L

 

— равенством

2

(

)

1 exp

( ) , если

0;

( ) ( ) =

2

2

( ), если

0.

x y f y dy

t

B t f x

t

t

f x

t

  

 

Затем определим функцию

2

:[0,

)

( ( ))

S

L

 

через функции

F

и

B

:

( ) = ( ) ( ) ( ).

S t

F t B t F t

(10)

Обратим внимание на то, что композиция в формуле (10) рассмотрена как

композиция линейных операторов из пространства

2

( ( )) :

L