Отсюда
∂A
∂u
(
i
)
=
Q
x
(
i
)
;
∂A
∂v
(
i
)
=
Q
y
(
i
)
;
∂A
∂w
(
i
)
=
Q
z
(
i
)
.
(29)
С учетом этих двух предложений условия равновесия (26) примут
вид
∂
Э
(
i
)
∂u
(
i
)
−
Q
x
(
i
)
= 0;
∂
Э
(
i
)
∂v
(
i
)
−
Q
(
i
)
= 0;
∂
Э
(
i
)
∂w
(
i
)
−
Q
z
(
i
)
= 0
.
(30)
3. Вместо общей функции Лагранжа
L
используем локальные
функции Лагранжа
L
(
i
)
в виде
L
(
i
)
=
Э
(
i
)
−
A
(
i
)
,
(31)
где
A
(
i
)
=
Q
x
(
i
)
u
(
i
)
+
Q
y
(
i
)
v
(
i
)
+
Q
z
(
i
)
w
(
i
)
.
Силы
~Q
, действующие на узлы, связаны с распределенными на-
грузками
~q
(
z
)
следующим образом:
Q
x
(
i
)
=
hq
x
(
z
i
);
Q
y
(
i
)
=
hq
y
(
z
i
);
Q
z
(
i
)
=
hq
z
(
z
i
)
.
(32)
Особенность локальных функций Лагранжа
L
(
i
)
состоит в том, что
для локальной области узла
(
i
)
они приводят к таким же условиям рав-
новесия, что и общая функция Лагранжа. Это означает, что в каждой
локальной области положение узла
(
i
)
отвечает минимуму локальной
функции Лагранжа
L
(
i
)
, т.е.
L
(
i
)
=
Э
(
i
)
−
A
(
i
)
= min
.
(33)
4. Условие (33) заменяет систему уравнений (30) для конкретного
узла
(
i
)
, которая справедлива и для всех узлов, если в выражениях для
функций
Э
(
i
)
и
A
(
i
)
изменить значения индекса
(
i
)
при сохранении
общего вида этих функций.
Общая система уравнений для всего участка трубопровода с сум-
марным числом узлов
n
содержит
3
n
уравнений вида (30). Число ис-
комых величин (координат всех
n
узлов в равновесном состоянии)
также равно
3
n
. Получить явные решения такой системы уравнений
относительно величин
u
(
i
)
,
v
(
i
)
,
w
(
i
)
можно только при малых дефор-
мациях и перемещениях методом аппроксимации локальных функ-
ций Лагранжа в сочетании с методами итераций и последовательных
приближений.
Вывод.
Разработана модель, позволяющая оценить напряженно-
деформированное состояние трубопровода на участках сложных гео-
логических условий с учетом наличия крутоизогнутых вставок.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
115
