где
J
o
— полярный момент инерции сечения трубы, равный
J
o
=
Z
r
2
dF
=
π
(
R
4
н
−
R
4
в
)
2
= 2
J
x
.
Плотность энергии деформаций находится по формуле
ϑ
=
τ
2
z
ϕ
2
G
,
где
G
=
E
2 (1 +
μ
)
— модуль сдвига, a
μ
— коэффициент Пуассона
металла трубы.
Тогда энергия участка трубы единичной длины может быть найде-
на по формуле
Э
1
=
Z
F
ϑdF
=
2
π
Z
0
R
н
Z
R
в
r
2
M
2
к
2
G J
2
o
r dr dϕ
=
M
2
к
2
GJ
o
,
а энергия деформаций на участке трубы длиной
h
равна
Э
h
=
h
2
G
∙
M
2
к
J
o
.
(4)
Касательные напряжения от действия поперечной силы
Q
1
опре-
деляются по формуле Журавского [2]
τ
zy
=
QS
x
J
x
b
,
где
b
— ширина поперечного сечения стенки трубы на уровне опре-
деления
τ
z
у
;
S
x
— статический момент относительно нейтральной оси
отсеченной части поперечного сечения.
Наибольшие касательные напряжения определяются по формуле
(
τ
zy
)
max
=
4
Q
3
πδ
∙
R
3
н
−
R
3
в
R
4
н
−
R
4
в
.
Плотность энергии деформации при поперечном сдвиге и изгибе
вычисляется по формуле
ϑ
=
σ
2
пр
2
E
+
τ
2
zy
2
G
.
Подставив в последнюю формулу
σ
пр
=
M
и
J
x
y
и
τ
zy
=
QS
x
J
x
b
, ин-
тегрируя ее по объему конечного элемента, получим потенциальную
1
Действие поперечной силы
Q
сопровождается появлением момента изгиба
М
и
,
поэтому их необходимо рассматривать совместно.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
107
