Рассмотрим выражения для разных составляющих энергии дефор-
маций в зависимости от положений узлов.
1. Энергия элемента
(
i
)
за счет действия внутреннего давления
Р
определяется из выражения
Э
P
(
i
)
=
h
2
E
P
2
F ξ.
(7)
Как видно, эта часть энергии не зависит явно от координат узлов, а при
смещении узлов вариация этой энергии равна нулю, следовательно,
в построении конечно-элементных уравнений равновесия эта часть
энергии не участвует.
2. Энергия элемента
(
i
)
за счет действия осевой силы
N
описыва-
ется формулой
Э
N
(
i
)
=
h
2
E
∙
N
2
J
x
,
(8)
где
N
= (
σ
0
+
ε
i
E
)
F
— осевая сила;
σ
0
=
μσ
кц
−
Eα
Δ
t
— осевое
напряжение, вызванное внутренним давлением и расчетным темпе-
ратурным перепадом;
σ
кц
=
P R
в
δ
— кольцевое напряжение в стен-
ке трубы;
ε
i
=
`
i
−
`
0
i
`
0
i
— осевая деформация конечного элемента
(
i
)
;
`
i
=
γ
x
γ
y
q
u
(
i
+1)
−
u
(
i
)
2
+
v
(
i
+1)
−
v
(
i
)
2
+
w
(
i
+1)
−
w
(
i
)
+
h
2
— длина элемента
(
i
)
в текущем состоянии (на текущем шаге решения);
`
0
i
=
q
u
0(
i
+1)
−
u
0(
i
)
2
+
v
0(
i
+1)
−
v
0(
i
)
2
+
w
0(
i
+1)
−
w
0(
i
)
+
h
2
—
длина элемента
(
i
)
в начальном (ненапряженном) состоянии трубо-
провода.
Так как в начальном состоянии
w
0(
i
+1)
=
w
0(
i
)
, то
`
0
i
=
q
u
0(
i
+1)
−
u
0(
i
)
2
+
v
0(
i
+1)
−
v
0(
i
)
2
+
h
2
.
Здесь введены поправочные коэффициенты
2
γ
х
и
γ
у
, учитывающие
поворот системы координат в пределах кривых вставок. Эти коэффи-
циенты определяются следующим образом:
γ
x
=
γ
y
= 1
— для прямолинейных участков;
γ
x
=
ρ
0
x
−
u
ср
ρ
0
x
= 1
−
u
cp
K
0
x
, γ
y
=
ρ
0
y
−
v
ср
ρ
0
y
= 1
−
v
cp
K
0
y
2
На практике коэффициенты
γ
х
и
γ
у
следует учитывать лишь в том случае, когда
радиус кривизны участка меньше ста диаметров трубы, а длина конечного элемен-
та сопоставима с диаметром трубы, т.е. при одновременном выполнении условий
ρ <
100
D
,
0
,
1
< h <
10
D
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
111
