Рис. 4. Нумерация узлов и элементов в конечно-элементной модели
жуточных точек
L
1
,
L
2
,
L
3
,
L
4
и т.д. Затем находим исходную кривиз-
ну для каждого конечного элемента. Поскольку в процессе решения
задачи координаты всех узлов будут изменяться под действием сил,
пометим все параметры в начальный момент дополнительным индек-
сом 0 (текущие значения индекса 0 не имеют), т.е.
u
0(
i
)
, v
0(
i
)
, w
0(
i
)
— это
начальные координаты узла с номером
(
i
)
, а
u
(
i
)
, v
(
i
)
, w
(
i
)
— текущие
координаты узла с номером
(
i
)
;
K
0
х
(
i
)
,
K
0
у
(
i
)
— начальные значения
кривизны элемента
(
i
)
в горизонтальной и вертикальной плоскостях
соответственно.
Зависимость энергии деформаций от координат узлов конечно-
элементной сетки.
Рассмотрим формулу (6) применительно к постро-
енной конечно-элементной модели трубопровода (см. рис. 4).
Исходные данные для моделирования:
D
— наружный диаметр тру-
бопровода;
δ
— толщина стенки трубопровода;
Е
= 206
∙
10
9
Па и
μ
= 0
,
3
— модуль упругости и коэффициент Пуассона металла трубы;
α
= 0
,
00012
K
−
1
— коэффициент температурного расширения матери-
ала трубы;
h
— длина конечного элемента;
Р
— рабочее давление;
Δ
t
—
расчетный температурный перепад, определяемый как разность между
температурой в стенке трубы в процессе эксплуатации и температурой
трубы при строительстве трубопровода.
По исходным данным находятся вспомогательные величины:
R
н
=
D/
2
— наружный радиус сечения трубы;
R
в
=
R
н
−
δ
— внут-
ренний радиус сечения трубы;
G
=
E
2 (1 +
μ
)
— модуль сдвига ме-
талла;
F
=
π
(
R
в
н
−
R
2
2
)
— площадь поперечного сечения трубы;
ξ
= 0
,
25 +
R
в
δ
2
,
η
= 1
,
5
— безразмерные параметры в формулах (6)
и (5) соответственно;
J
x
=
J
y
=
π
4
(
R
4
н
−
R
4
в
)
— момент инерции по-
перечного сечения трубы относительно осей
х
и
у
;
J
o
=
π
2
(
R
4
н
−
R
4
в
)
— полярный момент инерции сечения трубы. Задается начальная
кривизна на всех конечных элементах
(
i
)
в горизонтальной и верти-
кальной плоскостях, соответственно
K
0
x
(
i
)
=
1
ρ
0
x
(
i
)
и
K
0
y
(
i
)
=
1
ρ
0
y
(
i
)
,
где
ρ
0
х
(
i
)
, ρ
0
у
(
i
)
— исходные радиусы кривизны элемента
(
i
)
в горизон-
тальной и вертикальной плоскостях.
110
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
