Условия равновесия конечно-элементной модели трубопровода.
Условию равновесия трубопровода соответствует минимум функции
Лагранжа:
L
=
Э
−
A
= min
,
где
Э
— энергия деформации рассматриваемого участка трубопровода,
А
— работа внешних сил, действующих на трубопровод. На основании
этого можно утверждать, что условию равновесия трубопровода соот-
ветствует равенство нулю вариации функции Лагранжа при любых
вариациях смещений всех узлов, т.е.
δL
=
δ
(
Э
−
A
) = 0
.
(23)
Условие (23) должно соблюдаться для каждого узла. Отсюда
δL
(
i
)
=
∂L
∂u
(
i
)
δu
(
i
)
+
∂L
∂v
(
i
)
δv
(
i
)
+
∂L
∂w
(
i
)
δw
(
i
)
= 0
,
(24)
где
i
= 1
. . . n
— номера узлов;
n
— число узлов в конечно-элементной
сетке;
δu
(
i
)
,
δ
v
(
i
)
,
δ
w
(
i
)
— произвольные малые изменения координат
узла
(
i
)
.
Равенство (24) выполняется при любых значениях
δu
(
i
)
,
δv
(
i
)
,
δw
(
i
)
только в том случае, когда одновременно равны нулю все частные
производные на всех узлах
(
i
)
:
∂L
∂u
(
i
)
= 0;
∂L
∂v
(
i
)
= 0;
∂L
∂w
(
i
)
= 0
.
(25)
Используя условие равновесия трубопровода, можно записать
∂
Э
∂u
(
i
)
−
∂A
∂u
(
i
)
= 0;
∂
Э
∂v
(
i
)
−
∂A
∂v
(
i
)
= 0;
∂
Э
∂w
(
i
)
−
∂A
∂w
(
i
)
= 0
.
(26)
Полученные уравнения (26) используются при построении алго-
ритма численного решения задачи.
1. В уравнениях (26) вместо полной энергии
Э
можно использовать
выражение
Э
(
i
)
в виде (22), поскольку их производные одинаковы:
∂
Э
∂u
(
i
)
=
∂
Э
(
i
)
∂u
(
i
)
;
∂
Э
∂v
(
i
)
=
∂
Э
(
i
)
∂v
(
i
)
;
∂
Э
∂w
(
i
)
=
∂
Э
(
i
)
∂w
(
i
)
.
(27)
2. Работа внешних сил
А
определяется как сумма произведений
всех сил
~Q
(с проекциями
Q
x
, Q
y
, Q
z
), действующих на все узлы
конечно-элементной сетки, на смещения этих узлов. Вариация работы
при вариации смещений узлов определяется как
δA
=
X
i
(
Q
x
(
i
)
δu
(
i
)
+
Q
y
(
i
)
δv
(
i
)
+
Q
z
(
i
)
δw
(
i
)
)
.
(28)
114
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
