R
н
, R
в
— наружный и внутренний радиусы сечения трубы (см. рис. 2);
P
н
, P
в
— давления снаружи и внутри трубы;
r
— полярная координата,
определяющая расстояние от оси трубы.
Плотность энергии радиальных деформаций определяется выра-
жением [1]
ϑ
=
σ
2
r
2
E
,
тогда энергию радиальных деформаций в конечном элементе можно
определить как
Э
h
=
Z
v
ϑdv
=
πh
E
Z
R
н
R
в
a
−
b
r
2
2
r dr,
где
Е
— модуль упругости металла;
v
— объем конечного элемента
длиной
h
.
Вычисляя интеграл в последнем выражении, получаем, что энергия
элемента квадратично зависит от внутреннего и внешнего давлений
Р
в
и
Р
н
:
Э
h
=
πh
E
a
2
2
R
2
н
−
R
2
в
−
2
ab
ln
R
н
R
в
+
b
2
2
R
2
н
1
R
2
в
−
1
R
2
н
.
Магистральные трубопроводы относятся к классу тонкостенных
трубопроводов. Кроме того, внешнее давление
Р
н
как минимум на
порядок меньше внутреннего давления
Р
в
. Исходя из этого, выражение
для энергии конечного элемента можно упростить.
В пределах толщины стенки, которая мала по сравнению с радиу-
сами
R
н
и
R
в
, распределение радиальных напряжений вполне можно
считать линейным, причем на наружной поверхности радиальное на-
пряжение равно нулю (
σ
r
=
−
P
н
= 0
), а на внутренней поверхности
равно давлению
Р
в
, взятому с обратным знаком (
σ
r
=
−
P
в
=
−
P
).
Тогда среднее радиальное напряжение по толщине стенки будет
равно
σ
r
=
−
0
,
5
P
. Учитывая, что плотность энергии радиальных
деформаций
ϑ
=
σ
2
r
2
E
, получаем формулу для определения энергии
радиальных деформаций в конечном элементе:
Э
h
=
Z
v
ϑdv
=
σ
2
r
2
E
V
h
=
h
8
E
P
2
F.
(1)
Здесь
F
=
πδ
(
D
−
δ
)
— площадь поперечного сечения трубы;
D
—
наружный диаметр трубы;
δ
— толщина стенки;
V
h
– объем металла в
конечном элементе.
Энергия окружных деформаций от действия внутреннего и внеш-
него давлений.
Окружные напряжения находятся по формуле
σ
ϕ
=
PR
в
δ
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
105
