M
x
=
EJ
y
d
2
u
dz
2
−
d
2
u
0
dz
2
=
=
EJ
y
u
(
i
+2)
−
u
(
i
+1)
−
u
(
i
)
+
u
(
i
−
1)
2
h
2
−
K
0
x
(
i
)
;
(18)
M
y
=
EJ
x
d
2
v
dz
2
−
d
2
v
0
dz
2
=
=
EJ
x
v
(
i
+2)
−
v
(
i
+1)
−
v
(
i
)
+
v
(
i
−
1)
2
h
2
−
K
0
y
(
i
)
.
(19)
Здесь
K
0
x
(
i
)
,
K
0
y
(
i
)
— исходная кривизна элемента
(
i
)
в горизонтальной
и вертикальной плоскостях соответственно.
Из формул (16)–(19) следует, что смещение узла
(
i
)
приводит к
изменению энергии группы элементов
(
i
−
2)
,
(
i
−
1)
,
(
i
)
,
(
i
+ 1)
ана-
логично предыдущему случаю.
Поэтому для получения условий локального равновесия узла
(
i
)
достаточно рассматривать сумму энергий указанных элементов
Э
M
и
=
Э
M
и
(
i
−
2)
+
Э
M
и
(
i
−
1)
+
Э
M
и
(
i
)
+
Э
M
и
(
i
+1)
.
(20)
5. Энергия элемента
(
i
)
за счет действия крутящего момента
М
к
определяется по формуле
Э
M
к
(
i
)
=
h
2
G
∙
M
2
к
J
o
.
(21)
Как видно из (21), эта часть энергии не зависит от координат узлов
и при смещении узлов вариация этой энергии равна нулю:
δ
Э
M
к
(
i
)
= 0
.
Следовательно, в конечно-элементных уравнениях равновесия вклад
этой части энергии отсутствует.
Для определения энергии деформаций узла
(
i
)
просуммируем энер-
гии деформаций (9), (15), (20), в которых явным образом участвуют
координаты узлов:
Э
(
i
)
=
Э
N
(
i
−
1)
+
Э
N
(
i
)
+
+
Э
Q
(
i
−
2)
+
Э
Q
(
i
−
1)
+
Э
Q
(
i
)
+
Э
Q
(
i
+1)
+
+
Э
M
и
(
i
−
2)
+
Э
M
и
(
i
−
1)
+
Э
M
и
(
i
)
+
Э
M
и
(
i
+1)
.
(22)
Так как в каждом из слагаемых выражения (22) участвует хотя бы
одна из координат узла
(
i
)
—
u
(
i
)
, v
(
i
)
, w
(
i
)
, то производная энергии
деформаций по координатам узла
(
i
)
может отличаться от нуля.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
113
