случаям соударения с балкой таких тел, для которых общая нормаль
в точке соприкасания недеформированных поверхностей тела и бал-
ки проходит через центр инерции тела и причем вертикально. Кроме
того, уравнение поверхности тела в точках начального касания балки
и их окрестностях должно быть свободно от аналитических особен-
ностей и не должно содержать особых точек, а кривизна ударяющего
тела в тех же точках не должна быть равна нулю, иначе невозможно
применение расширенной теории Герца [6, 10].
Дифференциальное уравнение колебаний стержня имеет вид
∂
4
y
∂x
4
=
−
ρ
EI
∂
2
y
∂t
2
+
q
(
x, t
)
EI
,
(9)
где
ρ
— приведенная к длине масса стержня,
Е
— модуль Юнг а,
I
—
момент инерции,
q
(
x, t
)
— внешняя поперечная нагрузка.
Данное уравнение содержит производную по времени и производ-
ную по координате, для его решения необходимо избавиться или от
одного типа производных с помощью условий совместности, или от
другого — с помощью преобразования Лапласа. Запишем уравнение (9)
в пространстве изображений и представим неизвестные перемещения
мишени и внешнюю нагрузку в следующем виде [10]:
˜
y
(
x, p
) =
2 ˜
P
(
p
)
l
3
EIπ
4
∞
n
=1
1
p
2
n
4
sin
nπa
l
sin
nπx
l
,
(10)
где
p
— параметр преобразования Лапласа,
а
— координаты точки
приложения контактной силы
˜
P
(
p
)
, тильда над функцией обозначает
ее представление в пространстве изображений. Зависимости между
функциями и изображениями указаны в [11]. Граничные условия в
пространстве изображений остаются прежними.
В уравнении (9) можно перейти от определения функции проги-
бов к определению прогиба от действия единичной силы, для этого
необходимо пронормировать функцию
˜
y
(
x, p
)
зависимостью
˜
P
(
p
)
:
u
(
x, p
) =
˜
y
(
x, p
)
˜
P
(
p
)
=
2
l
3
EIπ
4
∞
n
=1
1
p
2
n
4
sin
nπa
l
sin
nπx
l
.
(11)
После определения зависимости для прогиба балки можно перейти
к определению контактной силы в месте взаимодействия двух тел, для
этого рассмотрим уравнение движения ударника после начала контак-
та, воспользовавшись уравнением
m
1
d
2
s
dt
2
=
m
1
g
−
P
(
t
)
,
(12)
где
s
(
t
) =
α
(
t
) +
y
(
a, t
)
— полное перемещение ударника,
α
(
t
)
—
деформации изолятора, а прогиб
y
(
a, t
)
вычисляется в месте ударного
воздействия.
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
