Динамический контакт происходит при соблюдении начальных
условий
s
(
t
= 0) = 0
,
ds
(
a,
0)
dt
=
V
0
.
(13)
В пространстве изображений уравнение (12) с учетом начальных
условий (13) примет вид
˜
P
(
p
) =
−
m
1
p
2
˜
s
(
p
) +
m
1
pV
0
+
m
1
g.
(14)
Зависимость местного смятия от контактной силы определяется
при решении контактной задачи механическими и геометрическими
параметрами контактирующих тел, в качестве основного соотношения
чаще всего используется модифицированная формула Герца
α
(
t
) =
b P
(
t
)
q
,
(15)
в случае вязкоупругого элемента Максвелла контактная сила прини-
мает интегральный вид с экспоненциальным ядром релаксации [2]:
P
(
t
) =
C
(
α
−
w
)
−
K
t
0
( ˙
α
−
˙
w
)
e
−
t
−
t
τ
1
dt .
(16)
Здесь
b
определяется геометрическими и механическими свойствами
соударяющихся тел;
q
= 2
/
3
— для начального касания в одной точке,
q
= 1
−
1
2
n
+ 1
— для плотного начального касания, рассмотренного в
[12] (Голдсмит и ряд других исследователей рекомендуют определять
этот параметр экспериментально);
w
— прогиб мишени;
t
— перемен-
ная интегрирования.
На основании соотношений (15) и (16), записанных в пространстве
изображений, из уравнения (14) получим
˜
P
(
p
) 1 +
m
1
p
2
u
=
−
m
1
p
2
b
˜
P
(
p
)
q
+
m
1
pV
0
+
m
1
g.
(17)
Для решения уравнения (17) можно использовать алгоритм после-
довательных приближений [10], в результате чего выведем рекуррент-
ную формулу
˜
P
(
p
) =
V
bp
1
q
1 + 1 +
m
1
p
2
u
V
1
q
−
1
m
1
p
(
pb
)
1
q
×
×
1 + 1 +
m
1
p
2
u
˜
P
(
p
)
1
−
q
bm
1
p
2
1
−
1
q
−
1
q
,
(18)
где
V
=
V
0
+
g/p
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
43
