жорданова кривая диаметра
δ
в круге
B
(0
,
2
δ
)
,
δ >
0
. Тогда найдется
функция
g
Γ
такая, что
Δ
g
Γ
= 0
вне
Γ
(т.е.
g
Γ
— гармоническая функция
вне
Γ
) и выполнены следующие оценки
g
Γ
B
(0
,
2
R
)
\
Γ
≤
A
(
|
ln
δ
|
+ ln
R
)
,
∂
α
g
Γ
R
2
\
Γ
≤
Aδ
−|
α
|
,
при
|
α
| ≤
n
+ 2
.
Кроме того, при
|
z
|
>
2
q
1
δ
,
q
1
≥
1
, справедливо разложение
g
Γ
(
z
) =
1
2
π
ln
|
z
|
+
∞
k
=1
d
1
,k
z
k
+
∞
k
=1
d
2
,k
z
k
,
а коэффициенты
d
1
,k
и
d
2
,k
при
k
∈
N
таковы, что
|
d
1
,k
| ≤
Aδ
k
,
|
d
2
,k
| ≤
Aδ
k
.
Для построения функции
g
Γ
необходимо повторить процесс построе-
ния, описанный в доказательстве [3, лемма 3.1] для случая
L
= Δ
с
тем изменением, что вместо функций
h
s
,
s
= 1
,
2
, использованных в
цитированном доказательстве, надо рассмотреть функции
h
s
(
z
) =
C
s
z
n
+2
(
z
−
b
s
)
n
+2
z
(
z
−
b
s
)
−
P
s
(
z
)
, s
= 1
,
2
,
где сохранены обозначения из [3, доказательство леммы 3.1], выбрана
ветвь корня, голоморфная вне
Γ
s
и эквивалентная
z
при
z
→ ∞
, а
константы
C
s
и полиномы
P
s
подобраны при
s
= 1
,
2
так, чтобы
lim
z
→∞
zh
s
(
z
) = 1
.
Пусть теперь
a
∗
j
— начальная точка дуги
γ
j
и пусть
γ
∗
j
:=
γ
j
−
a
∗
j
=
=
{
ζ
−
a
∗
j
:
ζ
∈
γ
j
}
. Найдутся
q
2
≥
1
и
r
j
>
0
такие, что
γ
j
+
+
B
(0
, r
j
)
⊂
B
(
a
∗
j
, q
2
δ
)
\
X
. Пусть функция
ρ
∈
C
∞
0
(
B
(0
,
1))
такова,
что
ρ
(
z
)
dz
∧
dz
= 1
и пусть
ρ
j
(
z
) :=
ρ zr
−
1
j
r
−
2
j
.
Определим функцию
˜
g
j
:= Δ
g
γ
∗
j
∗
ρ
j
и функцию
ψ
j
:=
k
j
Φ
δ
∗
˜
g
j
, где
константа
k
j
будет выбрана позднее.
Так как
Lψ
j
=
k
j
˜
g
j
и так как
K
j
:=
Supp
˜
g
j
⊂
γ
j
+
B
(0
, r
j
)
, то
функция
ψ
j
будет
L
-аналитической в окрестности компакта
X
. При
этом
∂
α
ψ
j B
(
a
j
,qδ
)
\
K
j
≤
Aδ
n
−
2
−|
α
|
при
|
α
| ≤
n
, а при
|
z
−
a
∗
j
|
>
2
q
3
δ
,
q
3
≥
1
, справедливо разложение
ψ
j
(
z
) =
Φ
δ
(
z
−
a
∗
j
) +
|
α
|≥
1
μ
α,j
∂
α
Φ
δ
(
z
−
a
∗
j
)
,
(15)
где коэффициенты
μ
α
таковы, что
|
μ
α,j
| ≤
Aδ
|
α
|
/α
!
.
(16)
Константа
k
j
в определении функции
ψ
j
выбирается так, чтобы ко-
эффициент при
Φ
δ
(
z
−
a
∗
j
)
в разложении (15) был равен
1
. Положим
также
μ
(0
,
0)
= 1
. Определим наконец
q
:= max
{
q
0
, q
2
, q
3
}
.
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
