где
c
k,s
∈
C
. Предположим, что
L
удовлетворяет
условию эллиптично-
сти
, которое состоит в том, что
L
(
x
1
, x
2
) = 0
только при
x
1
=
x
2
= 0
,
и определим дифференциальный оператор
L
следующим образом:
L
:=
L
∂
∂x
1
,
∂
∂x
2
.
(1)
В этом сл учае
L
—
однородный эллиптический дифференциальный
оператор в
R
2
порядка
n
с постоянными комплексными коэффициен-
тами
. Для упрощения обозначений однородный многочлен
L
(
x
1
, x
2
)
и соответствующий дифференциальный оператор
L
традиционно обо-
значаются одним и тем же символом. Это допустимо, так как не при-
водит к неоднозначности.
Всюду в дальнейшем через
z
обозначается как комплексное число
x
1
+
ix
2
, так и точка
(
x
1
, x
2
)
плоскости
R
2
.
Для произвольного множества
E
⊂
R
2
обозначим через
O
L
(
E
)
совокупность всех комплекснозначных функций
f
, каждая из которых
определена и удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению
Lf
= 0
(2)
на некотором (своем) открытом множестве, содержащем
E
. Функции
класса
O
L
(
E
)
будем называть
L
-аналитическими
на множестве
E
.
Классическими примерами операторов рассматриваемого вида
являются стандартные операторы Коши–Римана
¯
∂
:=
∂
∂z
=
1
2
∂
∂x
1
+
+
i
∂
∂x
2
и Лапласа
Δ
, а также их степени
¯
∂
n
и
Δ
n
,
n
∈
N
. При этом
L
-аналитические функции — это обычные голоморфные и гармони-
ческие функции, а также полианалитические и полигармонические
функции соответственно.
Обозначим через
P
L
совокупность всех многочленов от перемен-
ных
x
1
и
x
2
с комплексными коэффициентами, являющихся решени-
ями уравнения (2). Такие многочлены называются
L
-аналитическими
многочленами
Пусть
X
— компакт в
R
2
. Обозначим через
C
(
X
)
пространство
всех непрерывных на
X
комплекснозначных функций с равномерной
нормой и определим пространства
P
L
(
X
)
и
R
L
(
X
)
как замыкания в
C
(
X
)
подпространств
{
p
|
X
:
p
∈ P
L
}
и
{
g
|
X
:
g
∈ O
L
(
X
)
}
соот-
ветственно. При этом
P
L
(
X
)
и
R
L
(
X
)
— это в точности простран-
ства функций, допускающих равномерную на
X
аппроксимацию
L
-
аналитическими многочленами и
L
-аналитическими функциями с осо-
бенностями вне
X
соответственно. Отметим, что в последнем случае
в качестве приближающих функций достаточно рассматривать толь-
ко конечные линейные комбинации функций вида
Φ
L
(
z
−
a
)
,
a /
∈
X
,
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
