z
∈
R
2
положим
|
α
|
:=
α
1
+
α
2
,
α
! :=
α
1
!
α
2
!
и
z
α
:=
x
α
1
1
x
α
2
2
. Введем
также дифференциальные операторы
∂
1
:=
∂
∂x
1
, ∂
2
:=
∂
∂x
2
, ∂
α
=
∂
(
α
1
,α
2
)
:=
∂
α
1
1
∂
α
2
2
.
Пусть
Y
— некоторое подмножество
R
2
, а
f
— заданная на
Y
комплекснозначная функция. Положим
f
Y
:= sup
z
∈
Y
|
f
(
z
)
|
. При
Y
=
R
2
индекс
Y
опускается. Для функции
f
класса
C
m
и дл я
s
∈
Z
+
,
s
≤
m
, положим
∇
s
f
Y
:= max
0
≤
t
≤
s
∂
(
s
−
t,t
)
f
Y
.
Пусть далее
ω
Y
(
f, δ
) := sup
{|
f
(
z
1
)
−
f
(
z
2
)
|
:
z
1
, z
2
∈
Y,
|
z
1
−
z
2
| ≤
δ
}
— модуль непрерывности
f
на
Y
, причем при
Y
=
R
2
индекс
Y
опускается. Если
f
— функция класса
C
m
, а
s
∈ {
0
, . . . , m
}
то
ω
Y
(
∇
s
f, δ
) := max
0
≤
t
≤
s
ω
Y
(
∂
(
s
−
t,t
)
f, δ
)
.
Обозначим через Supp
T
— носитель распределения
T
, через
T
|
ϕ
— действие распределения
T
на функцию
ϕ
∈
C
∞
0
(
R
2
)
, а через
T
1
∗
T
2
— свертку распределений
T
1
и
T
2
.
Известно [13, теорема 7.1.20], что оператор
L
имеет фундаменталь-
ное решение
Φ
вида
Φ
(
z
) =
E
(
z
)
−
P
(
z
) log
|
z
|
,
где
E
(
·
)
— вещественно-аналитическая в
R
2
\{
0
}
функция, однородная
степени
n
−
2
, а
P
(
·
)
— однородный многочлен (от переменных
x
1
и
x
2
) степени
n
−
2
(если
n <
2
, то
P
≡
0
). Кроме того, при
z
= 0
и при
всех
α
∈
Z
+
2
имеет место очевидная оценка
∂
α
Φ
(
z
)
≤
Aα
!
|
z
|
n
−
2
−|
α
|
(log
|
z
|
+ 1)
.
(3)
Наряду с фундаментальным решением
Φ
потребуется фундамен-
тальное решение
Φ
δ
, определяемое при
δ >
0
следующим образом:
Φ
δ
(
z
) =
E
(
z
)
−
P
(
z
) log
|
z
|
δ
.
При этом
Φ
(
z
)
−
Φ
δ
(
z
) =
P
(
z
) log(1
/δ
)
— однородный многочлен сте-
пени
n
−
2
. Кроме того, при
α
∈
Z
+
2
с условием
|
α
|
> n
−
2
∂
α
Φ
δ
(
z
) =
∂
α
Φ
(
z
)
,
а при
α
∈
Z
+
2
с условием
|
α
| ≤
n
−
2
и при
|
z
| ≤
δ
выполняются оценки
|
∂
α
Φ
δ
(
z
)
| ≤
Aδ
n
−
2
−|
α
|
.
(4)
Напомним, что
L
-аналитические функции допускают разложения
в ряды типа Лорана. Путь
Φ
— любое фундаментальное решение
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
