Напомним, что компакты
X
, обладающие свойством
∂X
=
∂
ˆ
X
,
называются
компактами Каратеодори
. Они естественно возникают
во многих задачах теории приближений.
Теорема 2.
Пусть
X
— компакт в
R
2
.
(1)
. Если выполняется одно из следующих условий
:
(i)
θ
(
X
)
>
0;
(ii)
нижняя грань диаметров всех связных компонент множества
R
2
\
X
положительна
;
(iii)
каждая граничная точка компакта
X
является граничной точкой
для некоторой связной компоненты множества
R
2
\
X
;
(iv)
∂X
=
∂
ˆ
X
(
т.е.
X
— компакт Каратеодори
)
,
то для компакта
X
выполняется условие достаточности дополнения
и, следовательно,
A
L
(
X
) =
R
L
(
X
)
.
(2)
Если множество
R
2
\
X
связно, то
A
L
(
X
) =
P
L
(
X
)
.
Замечание 1
. Так как компакты, имеющие связное дополнение,
удовлетворяют условию достаточности дополнения, то утверждение
(2) теоремы 2 получается из теоремы 1 с использованием классиче-
ского метода Рунге (в случае аппроксимации решениями общих эл-
липтических уравнений этот метод подробно описан, например, в [1,
§3.10]).
Отметим также, что если выполнено условие (i) теоремы 2, то
свойство достаточности дополнения выполняется для компакта
X
при
= 2
/θ
(
X
)
. Условия (ii), (iii) и (iv) теоремы 2 гарантируют выполне-
ние условия достаточности дополнения для
X
при
= 2
. При этом
условия (ii)–(iv) теоремы 2 проверяются намного проще, чем условие
достаточности дополнения в теореме 1 или чем условие (i).
Таким образом, необходимо доказательство только теоремы 1.
Все результаты теорем 1 и 2 являются новыми для операторов
L
, фундаментальное решение которых не является локально ограни-
ченным. Для операторов
L
, имеющих локально ограниченное фун-
даментальное решение, равенство
A
L
(
X
) =
R
L
(
X
)
выполнено для
любого компакта
X
в силу [2, теорема 1]. Для операторов
L
порядка
2
утверждения теорем 1 и 2 были получены ранее в [3, теорема 1.1 и
предложение 3.1].
Отметим также, что утверждения теоремы 1 и первой части теоре-
мы 2 в голоморфном (при
L
= ¯
∂
) и гармоническом (при
L
= Δ
) сл у-
чаях непосредственно вытекают из критерия А.Г. Витушкина равно-
мерной приближаемости функций рациональными дробями [4, гл. V]
и критериев М.В. Келдыша [5] и Ж. Дени [6] равномерной приближа-
емости гармоническими функциями.
Утверждение второй части теоремы 2 при
L
= ¯
∂
вытекает из теоре-
мы С.Н. Мергеляна [7], которая утверждает, что
P
¯
∂
(
X
) =
A
¯
∂
(
X
)
, если
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
