и только если множество
R
2
\
X
связно. При
L
= Δ
соответствующее
утверждение является следствием критерия Дж. Уолша и А. Лебега [8;
9, теорема 3.3; 10, §1], согласно которому равенство
P
Δ
(
X
) =
A
Δ
(
X
)
имеет место, если и только если компакт
X
является компактом Кара-
теодори.
Таким образом, критерии Мергеляна и Уолша–Лебега равномерной
приближаемости функций многочленами комплексного переменного и
гармоническими многочленами формулируются в терминах топологи-
ческих свойств компактов, на которых рассматривается аппроксима-
ция.
В работе [3] отмечено, что если ord
L
= 2
, то найдется такой эл-
липс или такая окружность
X
L
, что
P
L
(
X
) =
C
(
X
L
)
. Таким обра-
зом, условие связности множества
R
2
\
X
не является необходимым
для выполнения равенства
P
L
(
X
) =
A
L
(
X
)
при ord
L
= 2
. Бол ее
того, если оператор
L
имеет порядок
2
и обладает локально огра-
ниченным фундаментальным решением, то найдутся такие эллипс
Y
L
и точка
a
, лежащая в ограниченной эллипсом
Y
L
области, что
P
L
(
Y
L
∪ {
a
}
) =
C
L
(
Y
L
∪ {
a
}
)
. Таким образом, условие, состоящее
в том, что
X
является компактом Каратеодори, также не будет необ-
ходимым для выполнения равенства
P
L
(
X
) =
A
L
(
X
)
для указанных
операторов
L
.
Пусть
n
≥
2
— натуральное число, а
L
= ¯
∂
n
. В этом случае
P
L
(
X
) =
P
¯
∂
n
(
X
)
— это в точности пространство функций, допус-
кающих равномерное на
X
приближение полианалитическими много-
членами порядка
n
, т.е. многочленами вида
z
n
−
1
p
n
−
1
(
z
)+
· · ·
+
zp
1
(
z
)+
+
p
0
(
z
)
, где
p
n
−
1
, . . . , p
0
— многочлены комплексного переменного. В
задаче о совпадении пространств
P
¯
∂
n
(
X
)
и
A
¯
∂
n
(
X
)
возникают усло-
вия на компакт
X
, имеющие аналитическую (а не топологическую)
природу. Эта задача и характер возникающих в ней условий прибли-
жаемости подробно обсуждаются, например, в работах [11, 12].
Доказательства.
Перед тем как приступать к доказательству те-
оремы 1, приведем ряд необходимых свойств оператора
L
и
L
-ана-
литических функций. Кроме того, определим локализационный опе-
ратор Витушкина для
L
и установим необходимые свойства этого опе-
ратора.
Всюду в дальнейшем через
A, A
0
, A
1
, . . .
обозначены положитель-
ные постоянные, значения которых могут быть различными в разных
соотношениях, а через
q, q
0
, q
1
, . . .
— постоянные, значения которых
фиксируются до конца изложения.
Введем следующие обозначения. Пару
α
=(
α
1
, α
2
)
∈
Z
+
2
, где
Z
+
=
=
{
0
,
1
,
2
, . . .
}
, будем называть
2
-индексом. Для
2
-индекса
α
и дл я
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
7
