для оператора
L
. Возьмем распределение
T
с носителем в круге
B
=
B
(
a, r
)
и определим функцию
f
=
Φ
∗
T
. Тогда существует
q
0
=
q
0
(
L
)
≥
1
такая, что функция
f
разлагается в ряд
f
(
z
) =
|
α
|≥
0
c
α
∂
α
Φ
(
z
−
a
)
,
(5)
сходящийся в смысле
C
∞
(
R
2
\
q
0
B
)
[14; 15, §7, п. 2]. Коэффициенты
c
α
=
c
α
(
f, a
)
,
α
∈
Z
+
2
, в разложении (5) вычисляются по формулам
c
α
=
c
α
(
f, a
) =
(
−
1)
|
α
|
α
!
T
(
w
)
|
(
w
−
a
)
α
.
(6)
Предположим, что фундаментальное решение
Φ
для оператора
L
выбрано так, что
max
|
z
|
=1
|
E
(
z
)
|
,
|
P
(
z
)
| ≤
A,
а фундаментальное решение
Φ
δ
при
δ >
0
построено по этому
Φ
.
Пусть
ϕ
∈
C
∞
0
(
R
2
)
. Определим
локализационный оператор Ви-
тушкина
для
L
[4, 14]
V
ϕ
:
C
∞
0
(
R
2
)
→
C
∞
0
(
R
2
)
по формуле
V
ϕ
f
=
Φ
∗
(
ϕLf
)
.
Отметим, что
V
ϕ
f
=
V
ϕ,δ
f
+
P
1
, где
V
ϕ,δ
f
=
Φ
δ
∗
(
ϕLf
)
— локализаци-
онный оператор, построенный по фундаментальному решению
Φ
δ
, а
P
1
= log(1
/δ
)
P
∗
(
ϕLf
)
— многочлен степени не выше
n
−
2
. Так как
LP
1
= 0
, то
P
1
—
L
-аналитический многочлен.
Установим необходимые в дальнейшем свойства оператора
V
ϕ,δ
.
Следующая лемма является непосредственным аналогом [3, предло-
жение 2.5].
Лемма 1.
Пусть
f
∈
C
(
R
2
)
,
Supp
f
⊂
B
=
B
(0
, R/
2)
, R
≥
2
.
Тогда для любой точки
a
∈
B,
для любого
δ
∈
(0
,
1)
и для любой
функции
ϕ
∈
C
∞
0
(
B
(
a, δ
))
функция
F
:=
V
ϕ,δ
f
обладает следующими
свойствами
:
(1)
F
∈
C
loc
(
R
2
)
,
причем
LF
=0
на множестве
R
2
\
Supp
f
∩
Supp
ϕ
.
(2)
Для любого
λ
≥
1
имеет место неравенство
F
B
(
a,λδ
)
≤
Ak
(
λ
)
δ
n
ω
(
δ
)
∇
n
ϕ ,
(7)
где
k
(
λ
) = (
λ
+ 1)
n
−
2
ln(
λ
+ 1)
, а
ω
(
t
) =
ω
B
(
a,δ
)
(
f, t
)
.
(3)
Для любого
2
-индекса
α
справедлива оценка
|
c
α
(
F, a
)
| ≤
Aδ
|
α
|
+2
ω
(
δ
)
∇
n
ϕ /α
!
.
(8)
Доказательство.
Доказательство проведем для случая
f
∈
C
∞
0
(
R
2
)
.
Общий случай получается регуляризацией. Утверждение (1) доказы-
вается стандартно (см., например, доказательство предложения 2.5 в
работе [3]).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
9
