Для каждого
j
∈
Z
+
2
рассмотрим функцию
f
j
:=
Φ
δ
∗
(
ϕ
j
Lf
)
. В силу
леммы 1 имеют место следующие свойства функций
f
j
. Во-первых,
f
j
∈
C
loc
(
R
2
)
, каждая из функций
f
j
является
L
-аналитической на
X
◦
(там же, где и функция
f
) и вне круга
B
(
a
j
, δ
)
. Кроме того, для
функций
f
j
выполняются следующие оценки:
f
j B
(
a
j
,qδ
)
≤
Aω
(
δ
)
,
α
∈
Z
+
2
,
(10)
где значение
q
≥
1
будет выбрано позднее, и
|
c
α
(
f
j
, a
j
)
| ≤
Aδ
|
α
|
+2
−
n
ω
(
δ
)
/α
!
,
α
∈
Z
+
2
.
(11)
Далее (например, [16, лемма 1])
f
(
z
) =
j
∈
Z
+
2
f
j
(
z
)
,
причем соответствующая сумма конечна, так как
f
j
≡
0
при Supp
(
ϕ
j
)
∩
∩
Supp
(
Lf
) =
∅
(в частности, если
B
(0
, R
)
∩
B
(
a
j
, δ
) =
∅
). Таким
образом, исходная функция
f
представлена в виде суммы функций
f
j
с
особенностями, локализованными в кругах
B
(
a
j
, δ
)
, и для требуемого
приближения функции
f
достаточно приблизить каждую из функций
f
j
с надлежащей точностью. Отметим также, что если
B
(
a
j
, δ
)
⊂
X
◦
,
то
f
j
≡
0
, а есл и
B
(
a
j
, δ
)
∩
X
=
∅
, то
f
j
является
L
-аналитической
функцией в окрестности
X
. Таким образом, нам необходимо прибли-
зить только функции
f
j
для 2-индексов
j
, принадлежащих множеству
J
=
{
j
∈
Z
+
2
:
B
(
a
j
, δ
)
∩
∂X
=
∅
}
.
Перейдем к построению соответствующих аппроксимант. Так как
для компакта
X
выполнено условие достаточности дополнения, то
найдется гладкая жорданова дуга
γ
j
⊂
B
(
a
j
, δ
)
, обладающая следу-
ющими свойствами: diam
γ
j
=
δ
,
γ
j
∩
X
=
∅
, а концевые точки этой
дуги находятся на расстоянии
δ
друг от друга. Всюду в дальнейшем
мы будем считать, что
δ
настолько мало, что
B
(
a
j
, δ
)
⊂
B
(0
, R
)
.
Для каждого
j
∈ J
построим компакт
K
j
такой, что
γ
j
⊂
K
◦
j
,
K
j
⊂
B
(
a
j
, δ
)
и
K
j
∩
X
=
∅
, и функцию
g
j
такую, что
Lg
j
= 0
вне
K
j
и имеют место следующие оценки:
g
j B
(
a
j
,qδ
)
\
K
j
≤
Aω
(
δ
)
,
(12)
|
c
α
(
g
j
, a
j
)
| ≤
Aδ
|
α
|
+2
−
n
ω
(
δ
)
/α
!
,
α
∈
Z
+
2
,
(13)
где
c
α
(
g
j
, a
j
)
— коэффициенты разложения (5) функции
g
j
относитель-
но фундаментального решения
Φ
δ
. Кроме того, функция
g
j
должна
быть выбрана так, чтобы
c
α
(
f
j
, a
j
) =
c
α
(
g
j
, a
j
)
,
α
∈
Z
+
2
,
|
α
| ≤
n.
(14)
Для построения требуемых функций
g
j
воспользуемся одной спе-
циальной модификацией леммы 3.1 работы [3]. Пусть
Γ
— гладкая
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
11
