Функции
g
j
,
j
∈ J
, мы будем искать в следующем виде:
g
j
(
z
) :=
|
α
|≤
n
β
α,j
∂
α
ψ
j
(
z
)
.
(17)
Коэффициенты
β
α,j
при
0
≤ |
α
| ≤
n
, однозначно определяются исходя
из условий (14), которые в рассматриваемом случае имеют вид
c
α
(
f
j
, a
∗
j
) =
α
1
τ
1
=0
α
2
τ
2
=0
β
τ,j
μ
α
−
τ,j
,
(18)
где
τ
и
α
−
τ
— это
2
-индексы
(
τ
1
, τ
2
)
и
(
α
1
−
τ
1
, α
2
−
τ
2
)
соответственно,
представляющие собой невырожденную треугольную систему линей-
ных уравнений. Отметим, что при
0
≤ |
α
| ≤
n
коэффициенты
β
α,j
допускают оценку
|
β
α,j
| ≤
Aδ
|
α
|
+2
−
n
ω
(
δ
)
.
(19)
Из (17) и (19) вытекают оценки (12) и (13) с заменой
a
j
на
a
∗
j
.
А оценка (13) для коэффициентов
c
α
(
g
j
, a
j
)
выводится из соответству-
ющей оценки для коэффициентов
c
α
(
g
j
, a
∗
j
)
аналогично тому, как это
было сделано при доказательстве [3, теорема 3.2].
Итак, функции
g
j
, удовлетворяющие всем требуемым свойствам,
построены. Для завершения доказательства теоремы достаточно про-
верить, что имеет место неравенство
j
∈J
(
f
j
−
g
j
)
X
≤
A
ln
R ω
(
δ
)
,
(20)
правая часть которого стремится к нулю при
δ
→
0
.
Из равенств (14) и оценок (11) и (13) следует, что при всех
z
с
условием
|
z
−
a
j
|
> qδ
имеет место оценка
|
f
j
(
z
)
−
g
j
(
z
)
| ≤
A
ln
R δ
3
ω
(
δ
)
|
z
−
a
j
|
3
.
(21)
При
|
z
−
a
j
|
< qδ
,
z /
∈
K
j
, из (10) и (12) следует оценка
|
f
j
(
z
)
−
g
j
(
z
)
| ≤
Aω
(
δ
)
.
(22)
Рассмотрим теперь произвольную точку
z
∈
X
. Дл я того чтобы
доказать (20), воспользуемся известным методом “послойного” сум-
мирования [4, § 4, лемма 1; 17, доказательство предложения 2.2]. Обо-
значим через
[
t
]
целую часть числа
t
. Используя оценки (21) и (22),
получаем неравенства
j
∈J
f
j
(
z
)
−
g
j
(
z
)
≤
≤
j
∈J
,
|
z
−
a
j
|
<qδ
f
j
(
z
)
−
g
j
(
z
) +
∞
m
=[
q
]
j
∈J
,
mδ
≤|
z
−
a
j
|
<
(
m
+1)
δ
f
j
(
z
)
−
g
j
(
z
)
≤
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
13
