где
Φ
L
— фундаментальное решение для оператора
L
. Другими сло-
вами,
R
L
(
X
)
— это пространство функций, допускающих равномер-
ную на
X
аппроксимацию мероморфными
L
-аналитическими функ-
циями с полюсами, лежащими вне
X
. Определим также пространство
A
L
(
X
) :=
C
(
X
)
∩ O
L
(
X
◦
)
, где через
E
◦
обозначается внутренность
множества
E
⊂
R
2
.
Так как равномерный предел последовательности
L
-аналитических
в некоторой области функций снова является
L
-аналитической (в той
же области) функцией, то
P
L
(
X
)
⊂
A
L
(
X
)
и
R
L
(
X
)
⊂
A
L
(
X
)
для
любого компакта
X
⊂
R
2
. Таким образом, условие
L
-аналитичности
данной функции
f
∈
C
(
X
)
на внутренности
X
◦
компакта
X
является
естественным необходимым условием равномерной приближаемо-
сти этой функции на
X
как
L
-аналитическими многочленами, так и
L
-аналитическими мероморфными функциями с особенностями вне
X
.
Естественно, возникают задачи описания компактов
X
⊂
R
2
, дл я
которых выполняются равенства
P
L
(
X
) =
A
L
(
X
)
и
R
L
(
X
) =
A
L
(
X
)
соответственно. Эти задачи являются непосредственными и естествен-
ными обобщениями классических задач об аппроксимации функций
многочленами и рациональными функциями комплексного перемен-
ного, восходящих к Вейерштрассу и Рунге.
Пусть
B
(
a, r
)
— открытый круг с центром в точке
a
∈
R
2
и радиу-
сом
r >
0
. Если
B
=
B
(
a, r
)
, то
qB
=
B
(
a, qr
)
,
q >
0
.
Определение.
Скажем, что компакт
X
⊂
R
2
обладает свойством
достаточности дополнения
, если существует число
= (
X
)
≥
1
такое, что для любого достаточно малого
δ >
0
и для любой точки
a
∈
R
2
с условием
B
(
a, δ
)
∩
∂X
=
∅
существует гладкая жорданова
дуга
γ
⊂
B
(
a, δ
)
такая, что diam
γ
=
δ
,
γ
∩
X
=
∅
, а расстояние между
концевыми точками
γ
равно
δ
.
Основным результатом настоящей работы является следующее
утверждение.
Теорема 1.
Пусть
X
— компакт в
R
2
, для которого выполняется
условие достаточности дополнения. Тогда
A
L
(
X
) =
R
L
(
X
)
.
Приведем ряд достаточных условий метрического и топологиче-
ского характера, при выполнении которых для компакта
X
в
R
2
вы-
полняется условие достаточности дополнения. Для
z
∈
R
2
и
r >
0
определим величину
d
(
z, r, X
)
как верхнюю грань диаметров всех
связных компонент множества
B
(
z, r
)
\
X
и введем величину
θ
(
X
) := inf
d
(
z, r, X
)
r
:
z
∈
∂X, r >
0
.
Кроме того, обозначим через
ˆ
X
объединение компакта
X
и всех огра-
ниченных связных компонент множества
R
2
\
X
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
5
