О равномерной аппроксимации функций на плоских компактах решениями однородных эллиптических уравнений - page 8

Отметим, что
∇ ϕ ≤ Aδm− ∇mϕ , (9)
при = 0 , 1, . . . , m, m ∈ N.
Из определения функции F следует (все производные в угловых
скобках ·|· берутся по переменному w), что
F (z) = Φδ (w − z )|ϕ(w)Lfa(w) ,
где fa (w) = f (w) − f (a). Отсюда получаем, что выражение
(−1)nF (z) − ϕ(z )fa(z ) = L (ϕ(w)Φδ (w − z ))| fa(w) − ϕ(z )fa(z )
представляет собой сумму выражений вида k ∂ σ Φδ (w−z)|∂ τ ϕ(w)fa (w ) ,
где k — постоянный коэффициент, а 2-индексы σ и τ таковы, что
| σ | ≤ n − 1 и | σ | + |τ | = n.
Пусть z ∈ B (a, λδ ). Тогда |ϕ(z )fa (z )| ≤ ω (δ) ϕ ≤ Aδ n ∇nϕ ω(δ),
а величина |k ∂ σ Φδ (w − z)|∂ τ ϕ(w)fa (w ) | допускает следующую оцен-
ку (используются (3), (4) и (9) и учитывается вид фундаментального
решения Φδ , а также тот факт, что функции E и P однородные степени
n − 2):
| ∂ τ ϕ(w)∂ σ Φδ(w − z )| fa(w) | ≤
≤ ∇|τ | ϕ ω(δ)δn−|σ | max
z∈B (0,λ)
B (0,1)
|∂ αΦδ (w−z)| dw∧dw ≤Ak (λ)δn ∇nϕ ω(δ).
Таким образом, оценка (7) установлена.
Оценка (8) проверяется намного проще. Пусть α — произвольный
2-индекс. Тогда из неравенства
B (a,δ)
∂ τ ϕ(w)∂σ (w − a)α dw∧dw ≤ Aδ2 ∇|τ | ϕ δ |α|−| σ| ≤ Aδ |α|+2 ∇n ϕ ,
справедливого для любых 2-индексов σ и τ таких, что |σ | + |τ | = n и
| σ | ≤ |α|, вытекает, что
α!|cα (F, a)| = | ϕ(w)Lfa (w)|(w − a)α | ≤ Aδ|α|+2 ω (δ) ∇nϕ .
Доказательство теоремы 1. Без ограничения общности предполо-
жим, что f имеет компактный носитель. Пусть f ∈ C0 (R2 ) ∩ OL (X ◦ ).
До конца доказательства положим ω (δ) := ω (f, δ ), δ > 0. Выберем
число R > 2 так, что Suppf ∪ X ⊂ B (0, R/2).
Для произвольного δ ∈ (0, 1) рассмотрим стандартное δ-разбиение
единицы, т.е. для каждого 2-индекса j = (j1 , j2 ) ∈ Z+
2 положим
aj := jδ = (j1 δ, j 2 δ) и выберем функции ϕj ∈ C ∞
0 (B (aj , δ )) так, что
0 ≤ ϕj ≤ 1, ∇kϕj ≤ Aδ−k при k = 0, . . . , n и
j ∈ Z+2
ϕj ≡ 1.
10 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3