достижения приемлемой точности расчета напряжений, сохраняются
и в настоящее время и, по-видимому, будут актуальны еще достаточ-
но долго. В связи с этим попытки модификации классических теорий
пластин и оболочек, направленные на получение уточненных алго-
ритмов расчета напряженно-деформированного состояния тонких тел,
продолжают быть востребованными. Таких модификаций, как извест-
но, предложено достаточно много. Не претендуя на полноту списка,
отметим лишь некоторые исследования в этой области [1–9]. Срав-
нительно недавно [2, 3] появились работы, в которых предложены
теории тонких пластин и оболочек с двумерной микроструктурой —
сотовыми, сетчатыми конструкциями, используя для этого метод асим-
птотического осреднения (метод гомогенизации (МГ)), хорошо зареко-
мендовавший себя при осреднении композитов с трехмерной периоди-
ческой структурой [10–14]. Применение МГ для двумерных структур
вызывает определенные сложности и не является частным случаем об-
щей трехмерной задачи, поскольку двумерные пластины и оболочки
сохраняют третью координату, но не обладают по ней периодической
структурой. В работах [2, 3] был предложен вариант МГ для тонких
пластин, в котором использовалось допущение о линейном характе-
ре распределения по толщине главных членов асимптотического ряда
для перемещений, что позволило получить систему уравнений типа
Кирхгофа–Лява.
Цель настоящей статьи — разработка МГ для тонких многослойных
пластин, в котором не делается предположение о линейности распре-
деления перемещений. Показано, что для многослойных пластин такое
линейное распределение отсутствует, а имеет место аналог гипотезы
ломаной линии, используемой в теории Григолюка–Куликова [1].
Основные допущения.
Рассмотрим многослойную пластину
постоянной толщины и введем малый параметр
κ
=
h/L
1
как
отношение общей толщины пластины
h
к характерному размеру всей
пластины
L
(например, к ее максимальной длине). Введем также
глобальные
x
k
и локальную
ξ
координаты
x
k
= ˜
x
k
/L, ξ
=
x
3
/κ, k
= 1
,
2
,
3
,
(1)
где
˜
x
k
— обычные декартовы координаты, ориентированные таким
образом, что ось
O
˜
x
3
направлена по нормали к внешней и внутренней
плоскостям пластины, а оси
O
˜
x
1
, O
˜
x
2
лежат в срединной плоскости
пластины. Полагаем, что существует два масштаба изменения переме-
щений
u
k
: один по направлениям
O
˜
x
1
, O
˜
x
2
, а второй по направлению
O
˜
x
3
. Координаты
x
3
и
ξ
, как это принято в методе асимптотического
осреднения, рассматриваются как независимые переменные. Коорди-
ната
ξ
по толщине пластины изменяется в диапазоне
−
0
,
5
< ξ
3
<
0
,
5
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
87
