Тогда уравнения (38), (39) можно записать в традиционном виде
уравнений равновесия и уравнений моментов
T
IJ,J
= 0
, Q
J,J
= Δ¯
p, M
IJ,J
−
Q
I
= 0
.
(41)
Это и есть искомые осредненные уравнения равновесия многослойной
пластины, где обозначено
Δ¯
p
=
κ
2
Δ
p
.
Осредненные определяющие соотношения.
Подставляя выраже-
ния (20), (22) для напряжений
σ
(0)
IJ
,
σ
(1)
IJ
в формулы (40), получим
T
IJ
= ¯
C
IJKL
ε
(0)
KL
+
B
IJKL
η
KL
+
K
IJKLM
ε
(0)
KL,M
;
(42)
M
IJ
=
B
IJKL
ε
(0)
KL
+
D
IJKL
η
KL
+ ¯
K
IJKLM
ε
(0)
KL,M
;
(43)
Q
I
=
K
IJKL
ε
(0)
KL,J
+
κ
2
σ
(2)
I
3
,
(44)
где для тензоров осредненных упругих констант пластины введены
обозначения:
¯
C
IJKL
=
C
(0)
IJKL
=
C
IJKL
−
C
IJk
3
C
−
1
k
3
i
3
C
i
3
KL
,
B
IJKL
=
κ ξC
(0)
IJKL
, K
IJKLM
=
κ
˜
N
(0)
IJKLM
,
K
IJKL
=
κ
ξ
−
0
,
5
(
C
(0)
IJKL
−
C
(0)
IJKL
)
dξ ,
¯
D
IJKL
=
κ
2
ξ
2
C
(0)
IJKL
,
¯
K
IJKLM
=
κ
2
ξ
˜
N
(0)
IJKLM
.
(45)
В частном случае, когда слои пластины расположены симметрично
относительно плоскости
ξ
= 0
, часть тензоров (45) являются нулевы-
ми:
B
IJKL
= 0
, K
IJKLM
= 0
(46)
и определяющие соотношения (42)–(44) принимают такой же вид, как
и в классической теории пластин Кирхгофа–Лява и Тимошенко:
T
IJ
= ¯
C
IJKL
ε
(0)
KL
, M
IJ
=
D
IJKL
η
KL
.
(47)
Осредненные кинематические соотношения.
В систему осред-
ненных определяющих соотношений (42)–(44) входят деформации
срединной поверхности
ε
(0)
KL
, кривизны
η
KL
и градиенты деформаций
ε
(0)
KL,N
, которые зависят от функций
u
(0)
I
,
u
(0)
3
глобальных переменных
x
I
:
ε
(0)
IJ
=
1
2
(
u
(0)
I,J
+
u
(0)
J,I
)
, η
KL
=
−
u
(0)
3
,KL
.
(48)
94
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
